Pozdrav! Muči me sledeći zadatak:
Izračunati
[dispmath]\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^3+x}-x}[/dispmath] Rešenje: [inlmath]-1[/inlmath]
Do sada, sve zadatke u kojima se trazi granična vrednost funkcije u kojoj figurišu korenovi, sam rešavao "racionalizacijom" istih.
Racionalizacija korena - pomnožiti funkciju (i brojilac i imenilac) odgovarajućim "izrazom" tako da se nakon množenja, u cilju eliminisanja korena, može primeniti formula za razliku kvadrata / kubova.
Tim principom sam se vodio i u rešavanju ovog zadatka, al' nešto neće. Evo postupka:
[dispmath]\begin{align}
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^3+x}-x}&=\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x}\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x}\right)}{\left(\sqrt[4]{x^3+x}-x\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x}\right)}\\
&=\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-x+1}{\left(\sqrt[4]{x^3+x}-x\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x}\right)}=\\
&=\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(x^2-x+1\right)\cdot\left(\sqrt[4]{x^3+x}+x\right)}{\left(\sqrt[4]{x^3+x}-x\right)\cdot\left(\sqrt[4]{x^3+x}+x\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x}\right)}=\\
&=\lim_{x\to+\infty}\frac{\left(x^2-x+1\right)\cdot\left(\sqrt[4]{x^3+x}+x\right)}{\left(\sqrt{x^3+x}-x^2\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x}\right)}=
\end{align}\\
\vdots[/dispmath] Daljim racionalisanjem samo komplikujem funkciju...
Obično se nakon racionalisanja "problematični faktor" skrati, pa se limes funkcije lako izračuna. Međutim, to nije slucaj sa zadatkom iz ove teme. Inače, zadatak spada u grupu najlakših pa pretpostavljam da postoji neka metoda za rešavanje sa kojom se još nisam sreo. Imao sam još jednu ideju kako da rešim zadatak - kako [inlmath]n[/inlmath] teži beskonačnosti, najviše bi nam odgovaralo da funkciju svedemo na oblik u kojem figurišu sabirci u obliku razlomka, tj. tada bismo mogli da primenimo osobinu
[dispmath]\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0[/dispmath] Da bismo sveli funkciju na ovaj oblik (oblik u kojem figurišu sabirci u obliku razlomka) potrebno je da i brojilac i imenilac podelimo nekom vrednošću (obično najvećim stepenom u imeniocu - na taj način dobijamo vrednost nezavisnu od promenljive [inlmath]x[/inlmath]). Pokušao sam (podelio sam i brojilac i imenilac sa [inlmath]x^{3/4}[/inlmath]) i na ovaj način, ali nisam uspeo.
Svaka pomoć bi mi dobro došla. Hvala!