Opet ja s limesima. Radio sam dva zadatka nekoliko puta, ali i pored toga nisam uspeo da dobijem rešenja kao u zbirci. S ciljem da mi neko da ukaže na grešku (ako je ima), napisaću postupak rešavanja zadatka.
[dispmath]\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{3x^2}{2x+1}-\frac{(2x-1)\left(3x^2+x+2\right)}{4x^2}\right)=\text{ ?}\\
\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{3x^2}{2x+1}-\frac{(2x-1)\left(3x^2+x+2\right)}{4x^2}\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{12x^4-\left(4x^2-1\right)\left(3x^2+x+2\right)}{4x^2(2x+1)}\right)=\\
=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{\cancel{12x^2}-\cancel{12x^4}-4x^3-8x^2+3x^2+x+2}{8x^3+4x^2}\right)=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{-4x^3-5x^2+x+2}{8x^3+4x^2}\right)=\\
=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{\cancel{x^3}\left(-4-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x^3}\right)}{\cancel{x^3}\left(8+\frac{4}{x}\right)}\right)=-\frac{1}{2}[/dispmath] U zbirci piše da je rešenje [inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath]. Da je u pitanju jednačina lako bih proverio koje je tačno rešenje, ovo koje sam ja dobio ili ono iz zbirke, ali ovako...
Drugi zadatak u kojem nisam dobio rešenje kao u zbirci:
[dispmath]\lim_{x\to-\infty}\biggl(x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\biggr)=\text{ ?}\\
\lim_{x\to-\infty}\biggl(x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\biggr)=\lim_{x\to-\infty}\left(\frac{x\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\cdot\left(\sqrt{x^2+1}+x\right)}{\sqrt{x^2+1}+x}\right)=\\
=\lim_{x\to-\infty}\left(\frac{\cancel{x}}{\cancel{x}\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+1\right)}\right)=\frac{1}{2}[/dispmath] Međutim, u zbirci piše da je rešenje zadatka [inlmath]-\infty[/inlmath], ali ja ne vidim gde je greška. Hvala unapred!