Zadatak glasi:
Izračunati
[dispmath]\lim_{x\to0}\left(\frac{1+\text{tg }x}{1+\sin x}\right)^{\Large\frac{1}{\sin x}}[/dispmath] Rešenje: [inlmath]1[/inlmath]
U ovom zadatku treba primeniti pravilo [inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e[/inlmath]. Ne uspevam da funkciju transformišem u oblik na koji mogu primeniti pomenuto pravilo. Moj postupak:
[dispmath]\lim_{x\to0}\left(\frac{1+\text{tg }x}{1+\sin x}\right)^{\Large\frac{1}{\sin x}}=\lim_{x\to0}\left(\frac{1+\frac{\sin x}{\cos x}}{1+\sin x}\right)^{\Large\frac{1}{\sin x}}=\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin x+\cos x}{\cos x\cdot(1+\sin x)}\right)^{\Large\frac{1}{\sin x}}[/dispmath] Da bismo uopšte mogli da primenimo gore navedeno pravilo neophodno je da [inlmath]x[/inlmath] teži beskonačnosti, a ne nuli kao što je u postavci zadatka. Iz tog razloga sam uveo smenu [inlmath]\frac{1}{\sin x}=t,\;t\to\infty[/inlmath]. Međutim, ova smena mi nije donela ništa korisno jer ne znam kako da izrazim [inlmath]\cos x[/inlmath] preko [inlmath]t[/inlmath] (a i da znam, pitanje je da li bih došao do konačnog rešenja). Jedino što mi je palo na pamet (u vezi izražavanja [inlmath]\cos x[/inlmath]-a preko [inlmath]t[/inlmath]) je da iskoristim identitet [inlmath]\sin^2x+\cos^2x=1[/inlmath], ali, s obzirom da je kosinusna funkcija periodična, a [inlmath]x[/inlmath] ne pripada nijednom konkretnom intervalu, ne znam sta bih radio sa znakom ispred korena.
Smernica u kom pravcu da idem bi dobro došla. Hvala!
Verovatno vas gnjavim ovim limesima, al' šta ću kad u školi baš slabo radimo matematiku.