Problem s nultim nizovima

PostPoslato: Nedelja, 22. Novembar 2020, 00:35
od Griezzmiha
Teorema 6.3 (Teorema o algebarskim kombinacijama granicnih vrednosti). Ako su
[inlmath](a_n)[/inlmath] i [inlmath](b_n)[/inlmath] konvergentni konacni nizovi, tada vazi:
  1. [inlmath]\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)[/inlmath] kao rezultat daje [inlmath]\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n\pm\lim_{n\to\infty}b_n[/inlmath];
  2. [inlmath]\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n)[/inlmath] kao rezultat daje [inlmath]\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n\cdot\lim_{n\to\infty}b_n[/inlmath];
  3. [inlmath]\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}[/inlmath] kao rezultat daje [inlmath]\displaystyle\frac{\lim\limits_{n\to\infty}a_n}{\lim\limits_{n\to\infty}b_n}[/inlmath].
Dokaz. Neka je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a[/inlmath], [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}b_n=b[/inlmath]. Tada se moze napisati [inlmath]a_n=a+\alpha_n[/inlmath], [inlmath]b_n=b+\beta_n[/inlmath] (gde su [inlmath](\alpha_n)[/inlmath] i [inlmath](\beta_n)[/inlmath] nula-nizovi)...

1) Bice
[inlmath]a_n+b_n=(a+b)+(\alpha_n+\beta_n)[/inlmath].
Na osnovu teoreme 5.2 (5) znamo da je zbir dva nula-niza, nula-niz. Dakle, [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}(a_n+b_n)=a+b=\lim\limits_{n\to\infty}a_n+\lim\limits_{n\to\infty}b_n[/inlmath].
Slicno se dokazuje za razliku.


Ovo je definicija iz literature... Zbunjuje me nulti niz, kako smem da ih gledam kao obicne clanove/sabirke ili kako god... Zasto se oni ovde uopste pojavljuju ako su neutralni, ja bar shvatam da su ovako ubaceni u dokaz zato sto su kao neutralni elementi... Mene konkretno zanima kako smemo ovako zapisivati bilo sta vezano za njih za osnovnim racunskim operacijama, kada su nizovi zapravo skupovi elemenata... Bas mi je nejasan zapis iznad.

Re: Problem s nultim nizovima

PostPoslato: Nedelja, 22. Novembar 2020, 23:48
od Daniel
Griezzmiha je napisao:Zbunjuje me nulti niz, kako smem da ih gledam kao obicne clanove/sabirke ili kako god... Zasto se oni ovde uopste pojavljuju ako su neutralni, ja bar shvatam da su ovako ubaceni u dokaz zato sto su kao neutralni elementi...

Možda tebe buni sâm pojam nula-niza. Nula-niz u opštem slučaju nije onaj niz čiji su članovi jednaki nuli (ako si na to mislio), već je to niz koji konvergira ka nuli, tj. čiji je limes jednak nuli.
Primer nula-niza bio bi [inlmath]1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots,\frac{1}{n},\ldots[/inlmath] Nijedan član ovog niza nije jednak nuli, ali limes tog niza jeste jednak nuli, zbog čega je ovo nula-niz.

Griezzmiha je napisao:Mene konkretno zanima kako smemo ovako zapisivati bilo sta vezano za njih za osnovnim racunskim operacijama, kada su nizovi zapravo skupovi elemenata... Bas mi je nejasan zapis iznad.

Treba da napraviš razliku između [inlmath](a_n)[/inlmath] i [inlmath]a_n[/inlmath]. Prvi zapis, [inlmath](a_n)[/inlmath] predstavlja niz. Drugi zapis, [inlmath]a_n[/inlmath], predstavlja opšti član tog niza.
Dakle, [inlmath]a_n+b_n[/inlmath] predstavlja zbir [inlmath]n[/inlmath]-tog člana niza [inlmath](a_n)[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath]-tog člana niza [inlmath](b_n)[/inlmath].

U gornjem primeru niza [inlmath]1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots,\frac{1}{n},\ldots[/inlmath], bilo bi [inlmath]a_n=\frac{1}{n}[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0[/inlmath].