MATEMANIJA

Zdravo,
Zadatak glasi: Za datu funkciju [inlmath]y=f\left(x\right)[/inlmath] na slici odrediti: (okačiću originalnu sliku sa zadatka)
1) [inlmath]\lim\limits_{x\to6}f\left(x\right)[/inlmath]
2) [inlmath]\lim\limits_{x\to0^+}f\left(x\right)[/inlmath]
3) [inlmath]\lim\limits_{x\to-3^-}f\left(x\right)[/inlmath]
4) [inlmath]\lim\limits_{x\to-\infty}f\left(x\right)[/inlmath]
5) [inlmath]f\left(0\right)[/inlmath]
6) [inlmath]f'\left(2\right)[/inlmath]

Takođe, treba napisati granične vrednosti kojima su određene njene vertikalne i horizontalne asimptote kao i domen funkcije.

Rešenje zadatka trenutno nema na sajtu, ali deo koji mislim da sam (donekle) ispravno uradio je sledeći:
1) [inlmath]\lim\limits_{x\to6}f\left(x\right)=6[/inlmath] jer vidimo da se vrednost [inlmath]6[/inlmath] na [inlmath]x[/inlmath] osi približava u tački [inlmath]6[/inlmath] na [inlmath]y[/inlmath] osi
2) [inlmath]\lim\limits_{x\to0^+}f\left(x\right)=1[/inlmath]

Dalje bih stao, jer me kod skice buni sledeća stvar:
Kad uzmemo random liniju da povlačimo nagore, bilo da [inlmath]x[/inlmath] teži [inlmath]6,0^+,-3^-[/inlmath] itd... uvek će prva vrednost na koju će naići biti [inlmath]1[/inlmath] (funkcija obeležena zelenom bojom), tako da generalno nisam siguran u potpunosti u način rešavanja ovog zadatka kao ni u tačnost mog rešenja.

Deo koji ne bih znao kako da započnem je npr pod 4,5,6, kao ni kako da odredim domen ni asimptote sa skice, tako da je svaka ideja dobrodošla.

Acim je napisao:1) [inlmath]\lim\limits_{x\to6}f\left(x\right)=6[/inlmath] jer vidimo da se vrednost [inlmath]6[/inlmath] na [inlmath]x[/inlmath] osi približava u tački [inlmath]6[/inlmath] na [inlmath]y[/inlmath] osi

Acim je napisao:2) [inlmath]\lim\limits_{x\to0^+}f\left(x\right)=1[/inlmath]

Ne znam kako si do ovog došao. Limes u [inlmath]0^+[/inlmath] je ona vrednost kojoj funkcija teži kad se [inlmath]x[/inlmath] približava nuli s desne strane, tj. preko pozitivnih vrednosti. To znači, na grafiku očitaš koju vrednost funkcija ima kad je [inlmath]x[/inlmath] vrlo blisko nuli ali „vrlo malo“ veće od nule, i to će biti (otprilike) tražena granična vrednost.

Acim je napisao:Kad uzmemo random liniju da povlačimo nagore, bilo da [inlmath]x[/inlmath] teži [inlmath]6,0^+,-3^-[/inlmath] itd... uvek će prva vrednost na koju će naići biti [inlmath]1[/inlmath] (funkcija obeležena zelenom bojom),

Ovo te ništa nisam razumeo.

Acim je napisao:Deo koji ne bih znao kako da započnem je npr pod 4,5,6, kao ni kako da odredim domen ni asimptote sa skice, tako da je svaka ideja dobrodošla.

Deo pod 3) zapravo predstavlja vertikalnu asimptotu, a deo pod 4) levu horizontalnu asimptotu (o njima kasnije).
Pod 5) se traži vrednost funkcije za [inlmath]x=0[/inlmath]. Sa slike nije baš najjasnije (jer je taj deo prekriven zelenom) da li funkcija samo teži nuli a u nuli nije definisana, ili je definisana i u nuli (ako je definisana u nuli, sa grafika je onda sasvim lako očitati tu vrednost – to je [inlmath]y[/inlmath]-koordinata preseka krive s ordinatom.
Pod 6) se traži izvod u tački [inlmath]x=2[/inlmath]. Sa grafika vidimo da se u tački [inlmath]x=2[/inlmath] nalazi lokalni maksimum. Znaš li koja je vrednost izvoda glatke funkcije u tačkama lokalnih ekstremuma?

Horizontalne asimptote nalaziš kao [inlmath]\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)[/inlmath] (leva) i [inlmath]\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)[/inlmath] (desna). To znači, za levu horizontalnu asimptotu gledaš kojoj vrednosti se kriva približava kako ideš ka levoj ivici slike, a za desnu horizontalnu asimptotu isto to, samo ideš ka desnoj ivici slike. Ako ideš ka desnoj ivici slike videćeš oscilacije oko neke srednje vrednosti koje se prema desno prigušuju – e, ta srednja vrednost, to je vrednost desne horizontalne asimptote.

Vertikalne asimptote tražiš u onim tačkama u čijim bliskim okolinama funkcija teži ka [inlmath]-\infty[/inlmath] ili ka [inlmath]+\infty[/inlmath]. Ovde će to, konkretno, biti tačke [inlmath]x=-3[/inlmath] i [inlmath]x=0[/inlmath]. Dakle, [inlmath]\lim\limits_{x\to-3^-}f(x)[/inlmath], [inlmath]\lim\limits_{x\to-3^+}f(x)[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{x\to0^-}f(x)[/inlmath] predstavljaju vertikalne asimptote (ne i [inlmath]\lim\limits_{x\to0^+}f(x)[/inlmath], jer sa grafika vidimo da u desnoj okolini nule funkcija ima konačnu vrednost).

Domen funkcije predstavljaju sve realne vrednosti, izuzev onih tačaka u kojima funkcija nije definisana – a to je [inlmath]x=-3[/inlmath] (sa slike se vidi da u toj tački funkcija nema vrednost dok u levoj okolini teži ka [inlmath]-\infty[/inlmath] a u desnoj okolini teži ka [inlmath]+\infty[/inlmath]) i, kao što gore napisah, nejasno je s ove slike da li je funkcija definisana za [inlmath]x=0[/inlmath] ili ne.