Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA LIMESI

Odrediti graničnu vrednost izraza

[inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}x\left(\sqrt{x^2+a^2}-x\right)[/inlmath]

Odrediti graničnu vrednost izraza

Postod Acim » Četvrtak, 17. Mart 2022, 14:03

Zadatak glasi:
[dispmath]\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2-1}{x^2+x+1}\right)^\frac{x^2+x-5}{-2x-4}[/dispmath]
Ovde sam prvo imao ideju da izraz svedem na Ojlerov oblik: [inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=e[/inlmath] ali nisam uspeo. Jedino što mi pada na pamet jeste da odredim limes u zagradi, što je [inlmath]1[/inlmath] pa na ceo taj razlomak, što je sigurno pogrešno.
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 370
Zahvalio se: 221 puta
Pohvaljen: 55 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Odrediti graničnu vrednost izraza

Postod desideri » Četvrtak, 17. Mart 2022, 16:12

Dobra je ideja. Podeli polinome u zagradi, dobićeš [inlmath]1+\frac{1}{\text{nešto}}[/inlmath].

A granična vrednost na koju se pozivaš je zapravo:
[dispmath]\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e[/dispmath]
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

  • +2

Re: Odrediti graničnu vrednost izraza

Postod Daniel » Četvrtak, 17. Mart 2022, 17:23

Ili, brojilac unutar zagrade napišeš kao imenilac uvećan za neki izraz koji ga „dopunjuje“ do prvobitnog brojioca, to jest:
[dispmath]\frac{x^2-1}{x^2+x+1}=\frac{x^2+x+1-x-2}{x^2+x+1}=\frac{x^2+x+1+(-x-2)}{x^2+x+1}=1+\frac{-x-2}{x^2+x+1}=1+\frac{1}{\frac{x^2+x+1}{-x-2}}[/dispmath] Vrlo je sličan princip i kod ostalih zadataka ovog tipa.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Odrediti graničnu vrednost izraza

Postod Acim » Petak, 18. Mart 2022, 08:26

Na kraju sam dobio rešenje:
[dispmath]e^\frac{x^2+x-5}{2\left(x^2+x+1\right)}[/dispmath] Mada mi je malo sumnjivo, pošto obično dobijem [inlmath]e[/inlmath] na neki broj, a ne na razlomak kao što je u ovom slučaju.
Evo i konačnog postupka:
[dispmath]\left(1+\frac{1}{\frac{x^2+x+1}{-x-2}}\right)^{\frac{x^2+x+1}{-x-2}\cdot\frac{-x-2}{x^2+x+1}\cdot\frac{x^2+x-5}{2\left(-x-2\right)}}[/dispmath] Zaključno sa [inlmath]\frac{x^2+x+1}{-x-2}[/inlmath] nam je [inlmath]e[/inlmath] i onda nam ostaje rešenje koje sam napomenuo.
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 370
Zahvalio se: 221 puta
Pohvaljen: 55 puta

  • +2

Re: Odrediti graničnu vrednost izraza

Postod desideri » Petak, 18. Mart 2022, 09:55

Zapravo si dobio:
[dispmath]\lim_{x\to\infty}e^\frac{x^2+x-5}{2\left(x^2+x-1\right)}=e^{\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2+x-5}{2\left(x^2+x-1\right)}}=e^\frac{1}{2}[/dispmath] Naime, granična vrednost "prolazi" kroz neprekidnu funkciju, što znači da može da "uđe" pod koren, "popne" se u eksponent itd.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

Re: Odrediti graničnu vrednost izraza

Postod Acim » Petak, 18. Mart 2022, 13:31

Da, da, totalno sam zaboravio na taj deo. Hvala!
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 370
Zahvalio se: 221 puta
Pohvaljen: 55 puta


Povratak na LIMESI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 21 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 16:52 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs