Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA LIMESI

Odrediti graničnu vrednost izraza

[inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}x\left(\sqrt{x^2+a^2}-x\right)[/inlmath]

Odrediti graničnu vrednost izraza

Postod Acim » Četvrtak, 24. Mart 2022, 18:45

Zdravo,
Zadatak glasi:
[dispmath]\lim_{x\to0^-}\left(1-\text{tg }x\right)^\frac{\cos x}{x^2}+\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{2019\sin x^{100}}{x^{100}}\right)[/dispmath]
Nisam se do sada susretao sa ovim tipom zadatka. Pre svega, ne znam ni kako da započnem zadatak, tj. šta da iskoristim. Kod ovog prvog dela prvo što mi je palo na pamet je da iskoristim pravilo:
[dispmath]\lim_{x\to0}\left(1+x\right)^\frac{1}{x}=e[/dispmath] ali pretpostavljam da to nije moguće jer uz [inlmath]\text{tg }x[/inlmath] stoji [inlmath]-[/inlmath].
Kod drugog dela baš nikakvu ideju nemam šta bih iskoristio, posebno zbog ovih velikih stepena.
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 370
Zahvalio se: 221 puta
Pohvaljen: 55 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Odrediti graničnu vrednost izraza

Postod Fare » Četvrtak, 24. Mart 2022, 23:22

Drugi limes je jednostavniji, treba iskoristiti „sendvič“ teoremu i ograničenost sinusa. Kako je [inlmath]\left| \sin x \right| ≤ 1[/inlmath] , to je i:

[inlmath]\underset{x \to +\infty}{\lim} \left| \frac{2019\sin x^{100}}{x^{100}} \right| ≤ \underset{x \to +\infty}{\lim} \left| \frac{2019}{x^{100}} \right|=0[/inlmath]

pa je
[inlmath]\underset{x \to +\infty}{\lim} \frac{2019\sin x^{100}}{x^{100}} =0[/inlmath]

Kod prvog limesa treba iskoristiti da je [inlmath]\underset{x \to 0}{\lim} \frac{\text{tg } x}{x} = 1[/inlmath] (na osnovu [inlmath]\underset{x \to 0}{\lim} \frac{\sin x}{x} = 1[/inlmath]). To što je limes količnika jednak 1 možemo tumačiti kao da se funkcija iz brojioca i funkcija iz imenioca „isto ponašaju“ u okolini neke tačke , tj. da jednu funkciju možeš aproksimirati drugom . U ovom slučaju [inlmath]\text{tg } x\sim x[/inlmath], kada [inlmath]x \to 0[/inlmath]. Zato je

[inlmath]\underset{x \to 0^{-}}{\lim} \left( 1-\text{tg }x \right)^{\frac{\cos x}{x^2}}=\underset{x \to 0^{-}}{\lim} \left( 1-x \right)^{\frac{1}{x^2}}[/inlmath]

Smenom [inlmath]t=-\frac{1}{x}[/inlmath] , to postaje

[inlmath]\underset{t \to +\infty}{\lim} \left( 1+\frac{1}{t} \right)^{{t^2}}=+\infty[/inlmath]
Fare  OFFLINE
 
Postovi: 110
Zahvalio se: 20 puta
Pohvaljen: 143 puta

  • +1

Re: Odrediti graničnu vrednost izraza

Postod Fare » Petak, 25. Mart 2022, 10:03

Preporučujem da pogledaš i "Resavanje limesa sa 1^∞"
Fare  OFFLINE
 
Postovi: 110
Zahvalio se: 20 puta
Pohvaljen: 143 puta

  • +1

Re: Odrediti graničnu vrednost izraza

Postod Daniel » Petak, 25. Mart 2022, 13:31

Prvi limes može i ovako:
[dispmath]\lim_{x\to0^-}\left(1-\text{tg }x\right)^\frac{\cos x}{x^2}=\lim_{x\to0^-}\left(1-\text{tg }x\right)^{\frac{1}{\text{tg }x}\cdot\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{x}}\;\overset{x=-t}{=\!=\!=}\;\lim_{t\to0^+}\left(1+\text{tg }t\right)^{\frac{1}{\text{tg }t}\cdot\frac{\sin t}{t}\cdot\frac{1}{t}}=\cdots[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na LIMESI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Google [Bot] i 23 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 10:57 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs