Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA LIMESI

Odrediti graničnu vrednost

[inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}x\left(\sqrt{x^2+a^2}-x\right)[/inlmath]

Odrediti graničnu vrednost

Postod Acim » Petak, 08. April 2022, 16:09

[dispmath]\lim_{x\to0^-}\left(\frac{e^x-e^{\sin x}}{x-\sin x}\right)[/dispmath] Jedina opcija koja mi je pala na pamet je Lopitalovo pravilo, pa sam prvo bio krenuo da odredim prvi izvod brojioca i imenioca.
Izvod brojioca:
[dispmath]\left(e^x-e^{\sin x}\right)'=e^x-\cos xe^{\sin x}[/dispmath] Izvod imenioca:
[dispmath](x-\sin x)'=1-\cos x[/dispmath] Međutim, ako sad pokušamo da ubacimo direktno [inlmath]0[/inlmath] u izraz, dobijamo neodređeni oblik, pa sam ponovo primenio Lopitalovo i odredio drugi izvod i jednog i drugog.
Brojilac:
[dispmath]\left(e^x-\cos xe^{\sin x}\right)'=-\sin xe^{\sin x}+\cos^2xe^{\sin x}[/dispmath] Imenilac:
[dispmath](1-\cos x)'=\sin x[/dispmath]
Opet, ako pokušam da ubacim [inlmath]0[/inlmath] dobijam neodređeni oblik. Dalje nisam pokušavao da primenjujem to pravilo, jer bih sve više i više komplikovao izraz. Da li postoji neka druga/kraća fora da se reši ovaj limes?
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 370
Zahvalio se: 221 puta
Pohvaljen: 55 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Odrediti graničnu vrednost

Postod desideri » Subota, 09. April 2022, 12:25

Ja bih ovde koristio asimptotiku o kojoj je već bilo reči na Matemaniji. Naime, [inlmath]\sin\frac{1}{n}\sim\frac{1}{n}[/inlmath] akko [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}[/inlmath].
Uzmimo da [inlmath]x[/inlmath] teži [inlmath]0[/inlmath] umesto da [inlmath]n[/inlmath] teži beskonačno. Levi i desni limes su isti, pa pišemo [inlmath]\sin x\sim x[/inlmath].
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

  • +1

Re: Odrediti graničnu vrednost

Postod Daniel » Subota, 09. April 2022, 13:58

Acim je napisao:Imenilac:
[dispmath](1-\cos x)'=\sin x[/dispmath]

Eto, da si samo još jednom primenio Lopitala, :) za imenilac bi dobio [inlmath]\cos x[/inlmath], pa kad u njega uvrstiš nulu, imenilac bi bio različit od nule pa više ne bi imao deljenje nulom. Znači, ipak se može Lopitalom.

Koriguj samo ovaj deo, ovde imaš grešku:
Acim je napisao:Brojilac:
[dispmath]\left(e^x-\cos xe^{\sin x}\right)'=-\sin xe^{\sin x}+\cos^2xe^{\sin x}[/dispmath]



Možeš i bez Lopitala, tako što izvučeš [inlmath]e^{\sin x}[/inlmath] ispred brojioca, pa limes postaje
[dispmath]\lim_{x\to0^-}\frac{\cancelto{1}{e^{\sin x}}\left(e^{x-\sin x}-1\right)}{x-\sin x}[/dispmath] Pošto [inlmath]x-\sin x[/inlmath] teži nuli, možemo uvesti smenu [inlmath]x-\sin x=t[/inlmath] gde [inlmath]t\to0[/inlmath], pa se svodi na poznat limes [inlmath]\lim\limits_{t\to0}\frac{e^t-1}{t}=1[/inlmath] (levi i desni limes u nuli su mu jednaki). Ako je potrebno, izvođenje ovog limesa možeš pogledati ovde.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Odrediti graničnu vrednost

Postod Acim » Subota, 09. April 2022, 22:27

Daniel je napisao:Eto, da si samo još jednom primenio Lopitala, :) za imenilac bi dobio [inlmath]\cos x[/inlmath], pa kad u njega uvrstiš nulu, imenilac bi bio različit od nule pa više ne bi imao deljenje nulom. Znači, ipak se može Lopitalom.

Zapravo, jesam, ali sam posle dobijao sumnjiv izraz, tipa beskonačno ili slično, ali sad vidim da sam omanuo kod određivanja izvoda.

Daniel je napisao:[dispmath]\lim_{t\to0}\frac{e^t-1}{t}=1[/dispmath]

Samo me kod ovog dela zanima zbog čega [inlmath]_{t\to0}[/inlmath] a ne [inlmath]0^-[/inlmath] pošto je tako bilo zadano u početnom izrazu?

Evo, da prikažem i ceo postupak preko Lopitala (opet se negde potkrala greška ali ne uočavam gde po običaju :lol: );
Kad sam odredio drugi izvod i brojioca i imenioca ostaje mi samo brojilac, tj.:
[dispmath]e^x+\sin xe^{\sin x}-\cos^2xe^{\sin x}[/dispmath] Kada uvrstim direktno [inlmath]0[/inlmath] dobijam [inlmath]0[/inlmath] što je pogrešno.
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 370
Zahvalio se: 221 puta
Pohvaljen: 55 puta

  • +1

Re: Odrediti graničnu vrednost

Postod Daniel » Subota, 09. April 2022, 23:06

Acim je napisao:Samo me kod ovog dela zanima zbog čega [inlmath]_{t\to0}[/inlmath] a ne [inlmath]0^-[/inlmath] pošto je tako bilo zadano u početnom izrazu?

Upravo zbog ovog što sam i naveo u zagradi:
Daniel je napisao:pa se svodi na poznat limes [inlmath]\lim\limits_{t\to0}\frac{e^t-1}{t}=1[/inlmath] (levi i desni limes u nuli su mu jednaki).


Acim je napisao:Kad sam odredio drugi izvod i brojioca i imenioca ostaje mi samo brojilac, tj.:
[dispmath]e^x+\sin xe^{\sin x}-\cos^2xe^{\sin x}[/dispmath] Kada uvrstim direktno [inlmath]0[/inlmath] dobijam [inlmath]0[/inlmath] što je pogrešno.

Nije pogrešno, dobro si izračunao ovaj izvod, i kad se uvrsti [inlmath]x=0[/inlmath] dobije se [inlmath]0[/inlmath].
Istovremeno u imeniocu imaš [inlmath]\sin x[/inlmath], što znači da opet imaš deljenje nule nulom.
E, sad primeniš Lopitala još jednom, kao što sam ti i napisao, i tek tada ćeš u brojicu i imeniocu dobiti izraze koji nisu nule.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Odrediti graničnu vrednost

Postod Acim » Nedelja, 10. April 2022, 07:13

To je to, hvala.
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 370
Zahvalio se: 221 puta
Pohvaljen: 55 puta


Povratak na LIMESI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 26 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 06:36 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs