Limes s geometrijskim nizovima
Poslato: Nedelja, 24. Novembar 2013, 12:54Evo ovako: zanima me da li je ovaj limes ispravan, mislim da sam pogriješila.. hvala puno
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{1+a+a^2+\cdots +a^n}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+ \cdots+\frac{1}{3^n}}[/dispmath]
Vidim da mi je u brojniku i nazivniku riječ o sumi geometrijskog niza,, a ona glasi ovako:
[dispmath]S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}[/dispmath]
Pošto mi je u brojniku [inlmath]q=a[/inlmath], uvrstim li to u sumu geometrijskog niza dobijem:
[dispmath]S_n=\frac{1-a^n}{1-a}[/dispmath]
Isti postupak uradim i za nazivnik, samo što mi je [dispmath]q=\frac{1}{3}[/dispmath]
I dobijem [dispmath]S_n=\frac{1}{2}\cdot\frac{3^{n+1}-3}{3^n}[/dispmath]
Dobijene vrijednosti uvrstim u limes:
Imam ovako:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1-a^n}{1-a}}{\frac{1}{2}\cdot\frac{3^{n+1}-3}{3^n}}[/dispmath]
I izvučem ovu [inlmath]2[/inlmath] pred limes, te na kraju dobijem [inlmath]0[/inlmath].
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{1+a+a^2+\cdots +a^n}{1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+ \cdots+\frac{1}{3^n}}[/dispmath]
Vidim da mi je u brojniku i nazivniku riječ o sumi geometrijskog niza,, a ona glasi ovako:
[dispmath]S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}[/dispmath]
Pošto mi je u brojniku [inlmath]q=a[/inlmath], uvrstim li to u sumu geometrijskog niza dobijem:
[dispmath]S_n=\frac{1-a^n}{1-a}[/dispmath]
Isti postupak uradim i za nazivnik, samo što mi je [dispmath]q=\frac{1}{3}[/dispmath]
I dobijem [dispmath]S_n=\frac{1}{2}\cdot\frac{3^{n+1}-3}{3^n}[/dispmath]
Dobijene vrijednosti uvrstim u limes:
Imam ovako:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1-a^n}{1-a}}{\frac{1}{2}\cdot\frac{3^{n+1}-3}{3^n}}[/dispmath]
I izvučem ovu [inlmath]2[/inlmath] pred limes, te na kraju dobijem [inlmath]0[/inlmath].