Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA IZVODI FUNKCIJA

Pravougaonik maksimalne povrsine upisan u elipsu – prvi probni prijemni FON 2020.

[inlmath]\left(x^n\right)'=nx^{n-1}[/inlmath]

Pravougaonik maksimalne povrsine upisan u elipsu – prvi probni prijemni FON 2020.

Postod bonko » Ponedeljak, 15. Jun 2020, 21:17

Prvi probni prijemni ispit FON (prva grupa) – 13. jun 2020.
17. zadatak


U elipsu [inlmath]\frac{x^2}{31}+y^2=1[/inlmath] upisan je pravougaonik maksimalne povrsine tako da su stranice pravougaonika paralelne sa koordinatnim osama. Duzina dijagonale tog pravougaonika je:

Tacan odgovor je: [inlmath]B)\;8[/inlmath]

Inace nemam problema sa ovakvim zadacima ali prvi put se susrecem sa elipsom. Problem je sto ne mogu da nadjem vezu izmedju stranica pravougaonika i male i velike poluose ([inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]).

Hvala!
bonko  OFFLINE
 
Postovi: 13
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Pravougaonik maksimalne povrsine upisan u elipsu – prvi probni prijemni FON 2020.

Postod Frank » Utorak, 16. Jun 2020, 03:35

Neka je tacka [inlmath]A(x_0,y_0)[/inlmath] jedno od temena pravougaonika. Kako su stranice pravougaonika paralelne koordinatnim osama i elipsa se nalazi u osnovnom polozaju (centar elipse se poklapa sa koordinatnim pocetkom) povrsina pravougaonika ce biti [inlmath]P=4x_0y_0[/inlmath]. Sad treba da izrazimo jednu stranicu u zavisnosti od druge. To mozemo uraditi pomocu jednacine elipse
[dispmath]\frac{x_0^2}{31}+y_0^2=1\;\Longrightarrow\;y_0^2=1-\frac{x_0^2}{a^2}[/dispmath] Da se ne bismo petljali s "korenjem" mozemo izraz za povrsinu kvadrirati
[dispmath]P=4x_0y_0\hspace{3mm}\big/^2\\
P^2=16x_0^2y_0^2=16x_0^2\left(1-\frac{x_0^2}{a^2}\right)[/dispmath] Sad mozes da uvedemo smenu [inlmath]t=x_0^2[/inlmath], pa se, nakon oslobodjivanja zagrade, dobije kvadratna jednacina. Kvadratna funkcija dostize svoju maksimalnu (u ovom slucaju) vrednost u temenu parabole - ocitamo [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu temena ([inlmath]x=-\frac{b}{2a})[/inlmath] i dobijemo koliko iznosi [inlmath]x_0^2[/inlmath]. Nakon toga se lako nadje i [inlmath]y_0^2[/inlmath]. Nemoj da te plasi sto se ne dobiju "lepe" vrednosti za [inlmath]x_0^2[/inlmath] i [inlmath]y_0^2[/inlmath], jer se posle (kada primenis formulu [inlmath]d=\sqrt{x_0^2+y_0^2}[/inlmath]) sve lepo sredi i ostane racionalan broj. Budi oprezan pri odredjivanju dijagonale, tj. vodi racuna da li racunas celu dijagonalu ili "samo" polovinu dijagonale pravougaonika.
Naravno, ako hoces da ispostujes rubriku, mozes i raditi preko izvoda. Mada, nema tu neke velike razlike.
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 486
Zahvalio se: 222 puta
Pohvaljen: 357 puta

Re: Pravougaonik maksimalne povrsine upisan u elipsu – prvi probni prijemni FON 2020.

Postod bonko » Utorak, 16. Jun 2020, 15:23

Puno ti hvala
bonko  OFFLINE
 
Postovi: 13
Zahvalio se: 5 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Pravougaonik maksimalne povrsine upisan u elipsu – prvi probni prijemni FON 2020.

Postod boki011 » Sreda, 17. Jun 2020, 14:28

Nije mi jasno kako znam da li racunam pola dijagonale ili celu. Ako moze mala pomoc oko toga. Takodje, jel ova formula za povrsinu pravougaonika u analitici vazi uvek?
boki011  OFFLINE
BANOVAN (klon)
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +2

Re: Pravougaonik maksimalne povrsine upisan u elipsu – prvi probni prijemni FON 2020.

Postod Frank » Sreda, 17. Jun 2020, 18:07

Elipsa koja je u osnovnom polozaju (sto je slucaj i sa elipsom iz ove teme) je simetricna u odnosu na koordinatne ose. Tacka [inlmath]A(x_0,y_0)[/inlmath] je jedno od temena posmatranog pravougaonika i pripada elipsi [inlmath]\frac{x^2}{31}+y^2=1[/inlmath]. Temena pravougaonika su simetricna u odnosu na koordinatne ose jer su njegove stranice paralelne istim. [inlmath]x_0[/inlmath] predstavlja udaljenost tacke [inlmath]A[/inlmath] od [inlmath]y[/inlmath]-ose, a [inlmath]y_0[/inlmath] udaljenost tacke [inlmath]A[/inlmath] od [inlmath]x[/inlmath]-ose. Neka su tacke [inlmath]N(0,y_0)[/inlmath] i [inlmath]M(x_0,0)[/inlmath] projekcije tacke [inlmath]A(x_0,y_0)[/inlmath] na [inlmath]y[/inlmath] odnosno [inlmath]x[/inlmath]-osu. Povrsina pravougaonika [inlmath]ANMO[/inlmath] ([inlmath]O[/inlmath] - koordinatni pocetak) jednaka je [inlmath]x_0\cdot y_0[/inlmath] i predstavlja cetvrtinu ukupne povrsine posmatranog pravougaonika (pravougaonika ciju dijagonalu treba naci). Ako ne mozes da zamislis, onda nacrtaj sliku, sa nje se sve lepo vidi.
Ocigledno je [inlmath]d=\sqrt{x_0^2+y_0^2}[/inlmath] polovina trazene dijagonale, jer je, kao sto rekoh, [inlmath]x_0[/inlmath] udaljenost do [inlmath]y[/inlmath]-ose (ta udaljenost je jednaka polovini udaljenosti tacke [inlmath]A[/inlmath] od naspramnog temena pravougaonika, na primer, temena [inlmath]D(-x_0,y_0)[/inlmath]), a [inlmath]y_0[/inlmath] udaljenost do [inlmath]x[/inlmath]-ose (ta udaljenost je jednaka polovini udaljenosti tacke [inlmath]A[/inlmath] od naspramnog temena pravougaonika, na primer, temena [inlmath]C(x_0,-y_0)[/inlmath]).
BTW Ukupnu duzinu trazene dijagonale racunas po formuli [inlmath]d=\sqrt{(2x_0)^2+(2y_0)^2}[/inlmath].
Naravno, kada elipsa nije u osnovnom polozaju (centar se poklapa sa koordinatnim pocetkom) sve napisano u ovom postu pada u vodu.
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 486
Zahvalio se: 222 puta
Pohvaljen: 357 puta

Re: Pravougaonik maksimalne povrsine upisan u elipsu – prvi probni prijemni FON 2020.

Postod boki011 » Subota, 20. Jun 2020, 20:13

Hvala puno!
boki011  OFFLINE
BANOVAN (klon)
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Pravougaonik maksimalne povrsine upisan u elipsu – prvi probni prijemni FON 2020.

Postod buca » Petak, 18. Jun 2021, 15:51

Frank je napisao:Povrsina pravougaonika [inlmath]ANMO[/inlmath] ([inlmath]O[/inlmath] - koordinatni pocetak)

Izvini, kako znamo kada je centar elipse u koordinatnom pocetku?
buca  OFFLINE
 
Postovi: 64
Zahvalio se: 26 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Pravougaonik maksimalne povrsine upisan u elipsu – prvi probni prijemni FON 2020.

Postod Kosinus » Subota, 19. Jun 2021, 09:41

Centar elipse je uvijek u koordinatnom početku ako je ista zadana formulom oblika [inlmath]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/inlmath] ili [inlmath]b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2[/inlmath].
Korisnikov avatar
Kosinus  OFFLINE
 
Postovi: 42
Zahvalio se: 14 puta
Pohvaljen: 51 puta


Povratak na IZVODI FUNKCIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 16. Oktobar 2021, 23:37 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs