Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA IZVODI FUNKCIJA

Ekstremne vrednosti više promenljivih (parcijalni izvod)

[inlmath]\left(x^n\right)'=nx^{n-1}[/inlmath]

Ekstremne vrednosti više promenljivih (parcijalni izvod)

Postod Acim » Utorak, 24. Maj 2022, 12:03

Odrediti parcijalni izvod funkcije:
[dispmath]f(x,y,z)=xy^2z^3[/dispmath] Npr. kad određujem [inlmath]f_x(x,y,z)[/inlmath], jel ispravno rešenje: [inlmath]y^2z^3[/inlmath], ili mora da se odredi prvo izvod proizvoda prva 2? Ako je ovo drugo, jel bi ispravno bilo ovako: [inlmath]\left((x)'y^2+x\left(y^2\right)'\right)\cdot z^3=z^3[/inlmath]?
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 326
Zahvalio se: 190 puta
Pohvaljen: 55 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Ekstremne vrednosti više promenljivih (parcijalni izvod)

Postod Daniel » Utorak, 24. Maj 2022, 13:24

Da li je u zadatku rečeno koji parcijalni izvod se traži – po [inlmath]x[/inlmath], po [inlmath]y[/inlmath], ili po [inlmath]z[/inlmath]? Ili se traže sva tri?

Kada određuješ [inlmath]f'_x(x,y,z)[/inlmath] ispravno rešenje jeste [inlmath]y^2z^3[/inlmath], jer tada samo [inlmath]x[/inlmath] posmatraš kao promenljivu, a [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] kao konstante. Isto to rešenje ćeš svakako dobiti i ako radiš kao izvod proizvoda (mada je to nepotrebno komplikovanje), a u svom načinu računanja preko proizvoda imaš grešku čim si umesto [inlmath]y^2z^3[/inlmath] dobio [inlmath]z^3[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9092
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5019 puta
Pohvaljen: 4855 puta

Re: Ekstremne vrednosti više promenljivih (parcijalni izvod)

Postod Acim » Utorak, 24. Maj 2022, 17:18

Daniel je napisao:Da li je u zadatku rečeno koji parcijalni izvod se traži – po [inlmath]x[/inlmath], po [inlmath]y[/inlmath], ili po [inlmath]z[/inlmath]? Ili se traže sva tri?

U stvari je ovo deo većeg zadatka, ali sam ja samo izdvojio deo sa parcijalnim izvodom pošto me je on samo bunio.
Hvala. :thumbup:
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 326
Zahvalio se: 190 puta
Pohvaljen: 55 puta

Re: Ekstremne vrednosti više promenljivih (parcijalni izvod)

Postod Acim » Nedelja, 29. Maj 2022, 12:40

Edit: Moraću da postavim i ceo tekst istog, pošto sam kod "finiša" zapeo;
Odrediti ekstremne vrednosti funkcije [inlmath]u(x,y,z)=xy^2z^3[/inlmath] pod uslovom [inlmath]x+2y+3z=6[/inlmath].

Okej, prvo sam postavio početni uslov:
[dispmath]\alpha(x,y,z,\lambda)=xy^2z^3+\lambda(x+2y+3z-6)[/dispmath] Sada, parcijalni po [inlmath]x[/inlmath]: [inlmath]y^2z^3+\lambda[/inlmath]
Po [inlmath]y[/inlmath]: [inlmath]2xyz^3+2\lambda[/inlmath]
Po [inlmath]z[/inlmath]: [inlmath]3xy^2z^2+3\lambda[/inlmath]
Po [inlmath]\lambda[/inlmath]: [inlmath]x+2y+3z-6[/inlmath]

Sada sistem:
[dispmath]y^2z^3+\lambda=0\\
xyz^3+\lambda=0\\
xy^2z^2+\lambda=0\\
x+2y+3z=6[/dispmath] Rešavanjem dobijam da su mi [inlmath]x,y,z=1[/inlmath] i [inlmath]\lambda=1[/inlmath].

Sada (ovo je možda deo gde je greška ali nisam siguran), tražim [inlmath]\alpha_{xx},\:\alpha_{yy},\:\alpha_{zz},\:\alpha_{xy},\:\alpha_{yz}[/inlmath] čiji su izvodi redom [inlmath]0,2,6,2,6[/inlmath]

Sada, diferenciranje uslova ([inlmath]x+2y+3z=6[/inlmath]): [inlmath]\mathrm dx+2\mathrm dy+3\mathrm dz=0[/inlmath] odakle sam izrazio: [inlmath]\mathrm dx=-2\mathrm dy-3\mathrm dz[/inlmath]

Na kraju, totalni diferencijal:
[dispmath]\mathrm d^2F=2\mathrm dy^2+6\mathrm dz^2-8\mathrm dy^2-12\mathrm dy\mathrm dz+12\mathrm dy\mathrm dz=0[/dispmath] što jelte, nema smisla (treba da se dobije da je ta tačka maksimum). Ne uviđam gde sam grešku mogao napraviti. Eventualno kod onog pomenutog dela, jer nisam računao sve parcijalne osim za navedene promenljive, ali sam uvek toliko određivao u prethodnim zadacima, nikad sve kombinacije.
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 326
Zahvalio se: 190 puta
Pohvaljen: 55 puta

  • +1

Re: Ekstremne vrednosti više promenljivih (parcijalni izvod)

Postod Daniel » Sreda, 01. Jun 2022, 13:13

Acim je napisao:Sada sistem:
[dispmath]y^2z^3+\lambda=0\\
xyz^3+\lambda=0\\
xy^2z^2+\lambda=0\\
x+2y+3z=6[/dispmath] Rešavanjem dobijam da su mi [inlmath]x,y,z=1[/inlmath] i [inlmath]\lambda=1[/inlmath].

Zapravo, [inlmath]\lambda={\color{red}-}1[/inlmath]. Ali, [inlmath]\lambda[/inlmath] može biti i [inlmath]0[/inlmath] (što povlači podslučaj [inlmath]y=0[/inlmath] ili podslučaj [inlmath]z=0[/inlmath]).

Acim je napisao:Sada (ovo je možda deo gde je greška ali nisam siguran), tražim [inlmath]\alpha_{xx},\:\alpha_{yy},\:\alpha_{zz},\:\alpha_{xy},\:\alpha_{yz}[/inlmath] čiji su izvodi redom [inlmath]0,2,6,2,6[/inlmath]

Izostavio si [inlmath]\alpha_{xz}[/inlmath].

Acim je napisao:Na kraju, totalni diferencijal:
[dispmath]\mathrm d^2F=2\mathrm dy^2+6\mathrm dz^2-8\mathrm dy^2-12\mathrm dy\mathrm dz+12\mathrm dy\mathrm dz=0[/dispmath]

Ne vidim kako bi se odavde dobilo da je totalni diferencijal jednak nuli. Dobilo bi se da je jednak [inlmath]-6\mathrm dy^2+6\mathrm dz^2[/inlmath], pri čemu [inlmath]\mathrm dy^2[/inlmath] ne mora biti jednako [inlmath]\mathrm dz^2[/inlmath].
Nakon što dodaš i [inlmath]2\alpha_{xz}[/inlmath] koji si izostavio, dobićeš da je totalni diferencijal manji od nule, tj. da je u pitanju lokalni maksimum.

Acim je napisao:Edit: Moraću da postavim i ceo tekst istog, pošto sam kod "finiša" zapeo;

Ovo svakako treba uvek činiti, kao što i kaže tačka 11. Pravilnika.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9092
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5019 puta
Pohvaljen: 4855 puta

Re: Ekstremne vrednosti više promenljivih (parcijalni izvod)

Postod Acim » Sreda, 01. Jun 2022, 22:26

Iz nekog razloga kod totalnog diferencijala uvek dobijam drugačije nego što si ti naveo, a pritom da je opet maksimum.

Kada izračunam [inlmath]a_{xz}[/inlmath], što je [inlmath]3[/inlmath], kada ubacim u totalni diferencijal dobijam sledeći izraz:
[dispmath]2\mathrm dy^2+6\mathrm dz^2+4\mathrm dx\mathrm dy+12\mathrm dy\mathrm dz+6\mathrm dx\mathrm dz[/dispmath] Kako sam kod diferenciranja uslova izrazio da mi je [inlmath]\mathrm dx=-2\mathrm dy-3\mathrm dz[/inlmath], dobijam:
[dispmath]2\mathrm dy^2+6\mathrm dz^2+4\mathrm dy(-2\mathrm dy-3\mathrm dz)+12\mathrm dy\mathrm dz+6\mathrm dz(-2\mathrm dy-3\mathrm dz)[/dispmath] Kad sredim:
[dispmath]-6\mathrm dy^2-12\mathrm dz\mathrm dy-12\mathrm dz^2[/dispmath] Tj. [inlmath]-(\mathrm dy+\mathrm dz)^2[/inlmath] što dovodi do tačnog rešenja da je ovo lokalni maksimum, ali sam negde (a ne nalazim još uvek gde) u izrazu pogrešio.
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 326
Zahvalio se: 190 puta
Pohvaljen: 55 puta

  • +1

Re: Ekstremne vrednosti više promenljivih (parcijalni izvod)

Postod Daniel » Četvrtak, 02. Jun 2022, 01:44

Acim je napisao:Iz nekog razloga kod totalnog diferencijala uvek dobijam drugačije nego što si ti naveo, a pritom da je opet maksimum.

Ne znam na šta konkretno misliš, ali rešenje ti je tačno. I nije u suprotnosti ni sa čim što sam naveo.

Dakle, za slučaj [inlmath]\lambda=-1[/inlmath] dobija se upravo ovo što si napisao:
Acim je napisao:[dispmath]-6\mathrm dy^2-12\mathrm dz\mathrm dy-12\mathrm dz^2[/dispmath]

Međutim, taj izraz nije oblika [inlmath]-(\mathrm dy+\mathrm dz)^2[/inlmath] kako si ti napisao, ali jeste [inlmath]-6(\mathrm dy+\mathrm dz)^2-6\mathrm dz^2[/inlmath], za koji je jasno da je manji od nule.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9092
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5019 puta
Pohvaljen: 4855 puta

Re: Ekstremne vrednosti više promenljivih (parcijalni izvod)

Postod Acim » Četvrtak, 02. Jun 2022, 07:23

Sada shvatam, hvala!
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 326
Zahvalio se: 190 puta
Pohvaljen: 55 puta


Povratak na IZVODI FUNKCIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 08. Avgust 2022, 21:27 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs