MATEMANIJA

Najmanja vrednost funkcije je:
[dispmath]F(x)=\cos x+\sin x[/dispmath]
Znam da nadjem prvi izvod i kasnije preko polovine ugla sve prebacim u kosinus,ali ako moze pomoc kako dalje

Kada nadjes prvi izvod onda ga izjednacis sa nulom i kasnije nadjes drugi izvod kako bi provjerila da li se zaista radi o minimumu, u ovom primjeru ne moras sve pretvarati u kosinus ili sinus... rjesenje je ocigledno [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath]

Resenje je [inlmath]-\sqrt2[/inlmath] i to me zbunjuje

da, preko prvog izvoda mozes dobiti maximum, ali ako je maximum [inlmath]\sqrt2[/inlmath] onda toliki mora biti i minimum (samo sa negativnim predznakom)... ovo mozes zakljuciti kada pogledas trig. kruznicu, u prvom kvadrantu se nalazi maximum a u trecem minimum (ako je u pitanju sabiranje) i oni imaju jednake apsolutne vrijednosti...

Razumela sam to za prvi izvod ali nikako ne mogu da dodjem do resenja,samo do onog dela kada izjednacim sa nulom,kako dalje onda

dobijes sledece: (ovo dobijes nakon sto nadjes prvi izvod pocetnog izraza)
[inlmath]\sin x-\cos x=0\\
\sin x=\cos x[/inlmath]
[inlmath]x_1=\frac{\pi}{4}[/inlmath] - maximum
[inlmath]x_2=\frac{5\pi}{4}[/inlmath] - minimum

kada ova rjesenja uvrstis u pocetnu jednacinu vidjeces koja je maximalna vrijednost izraza a koja minimalna

Hvalaa ti punoo

Potvrđujem rešenje da je najmanja vrednost funkcije [inlmath]F(x)=\cos x+\sin x[/inlmath] jednaka: [inlmath]-\sqrt2[/inlmath].
@Sinisa je u pravu za [inlmath]x=\frac{5\pi}{4}[/inlmath] ali tu je još potrebno dopisati [inlmath]\pm2k\pi[/inlmath]
Inače, izraz tj. funkcija [inlmath]F(x)=\cos x+\sin x[/inlmath] može da se transformiše preko adicione formule (i to se često koristi) u:
[dispmath]\cos x+\sin x=\frac{2}{\sqrt2}\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos x+\frac{\sqrt2}{2}\sin x\right)=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)[/dispmath]
To znači da je sada:
[dispmath]F(x)=\cos x+\sin x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)[/dispmath]
Izvod ove funkcije je:
[dispmath]F^{'}(x)=\sqrt2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)[/dispmath]
Ovo u zagradi (argument kosinusa) izjednači se ili sa [inlmath]\frac{\pi}{2}\pm2k\pi[/inlmath] ili sa [inlmath]\frac{3\pi}{2}\pm2k\pi[/inlmath], jer je tada kosinus jednak nuli.
Dobija se:
[dispmath]x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\pm2k\pi\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{4}\pm2k\pi[/dispmath][dispmath]x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{2}\pm2k\pi\;\Rightarrow\;x=\frac{5\pi}{4}\pm2k\pi[/dispmath]
Prvi slučaj daje maksimalnu vrednost date funkcije [inlmath]F(x)=\cos x+\sin x[/inlmath] koja iznosi [inlmath](\sqrt2)[/inlmath] a drugi minimalnu vrednost date funkcije [inlmath]F(x)=\cos x+\sin x[/inlmath] koja iznosi [inlmath](-\sqrt2)[/inlmath].

Može i jednostavnije, nema nikakve potrebe za traženjem prvog izvoda.
Već iz oblika
[dispmath]F\left(x\right)=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)[/dispmath]
jasno je da, pošto sinus pripada intervalu [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath], tada [inlmath]F\left(x\right)[/inlmath], pošto je to vrednost sinusa pomnožena sa [inlmath]\sqrt2[/inlmath], mora pripadati intevalu [inlmath]\left[-\sqrt2,\sqrt2\right][/inlmath].
Dakle, minimalna vrednost je [inlmath]-\sqrt2[/inlmath], a maksimalna (koja se ne traži, al' eto) [inlmath]\sqrt2[/inlmath].

---

Inače, postoji i drugi način da se izraz [inlmath]\cos x+\sin x[/inlmath] transformiše.
[inlmath]\cos x[/inlmath] se napiše kao [inlmath]\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)[/inlmath], a zatim se primeni formula za transformaciju zbira sinusa u proizvod.
Može i da se [inlmath]\sin x[/inlmath] napiše kao [inlmath]\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)[/inlmath], a da se zatim primeni formula za transformaciju zbira kosinusa u proizvod. Potpuno svejedno.

Koja je to formula koriscena da dobijemo
[dispmath]\cos x+\sin x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)[/dispmath]