MATEMANIJA

U knjizi "Matematička analiza 1" (autori dr Dušan Adnađević i dr Zoran Kadelburg) u lekciji "6.5 Viši izvodi i diferencijali", a u odeljku sa naslovom "Diferencijali višeg reda", definisano je da je diferencijal [inlmath]n[/inlmath]-tog reda funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath]: [inlmath]\mathrm d^ny=f^{(n)}(x)(\mathrm dx)^n[/inlmath]. Zatim piše da, ako [inlmath]\mathrm dx[/inlmath] smatramo konstantom, onda je: [inlmath]\mathrm d^ny=\mathrm d\left(\mathrm d^{n-1}y\right)[/inlmath]. Sada me zanima da li je sledeće moje shvatanje, zbog čega je to tako, tačno:

Dakle, [inlmath]\mathrm dx[/inlmath] je funkcija, pa možemo da razlikujemo slučajeve kada je konstantne vrednosti i kada nije.

1) Kada je [inlmath]\mathrm dx=\mathrm{const.}[/inlmath], onda važi sledeći niz jednakosti:
[dispmath]\mathrm d^ny=\mathrm d\left(\mathrm d^{n-1}y\right)=\mathrm d\left(f^{(n-1)}(x)\cdot(\mathrm dx)^{n-1}\right)=[/dispmath]
Sada se zadnji izraz može shvatiti kao [inlmath]\mathrm d\big(g(x)\big)[/inlmath], gde je [inlmath]g(x)[/inlmath] proizvod funkcije, koja je [inlmath](n-1)[/inlmath]-i izvod funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath], i konstante, koja je [inlmath](n-1)[/inlmath]- stepen konstante [inlmath]\mathrm dx[/inlmath]. Odatle sledi:
[dispmath]=\mathrm d\big(g(x)\big)=g'(x)\cdot\mathrm dx=g'(x)\cdot\mathrm{const.}=\left(f^{(n-1)}(x)\cdot\mathrm{const.}^{n-1}\right)'\cdot\mathrm{const.}=[/dispmath][dispmath]=\mathrm{const.}^{n-1}\cdot\big(f^{(n-1)}(x)\big)'\cdot\mathrm{const.}=f^{(n)}(x)\cdot\mathrm{const.}^n=\mathrm d^ny.[/dispmath]
2) Kada [inlmath]\mathrm dx[/inlmath] nije konstantna funkcija, onda važi sledeći niz jednakosti:
[dispmath]\mathrm d^ny=\mathrm d\left(\mathrm d^{n-1}y\right)=\mathrm d\left(f^{(n-1)}(x)\cdot(\mathrm dx)^{n-1}\right)=[/dispmath]
Sada se zadnji izraz može shvatiti kao [inlmath]\mathrm dg(x)[/inlmath], gde je [inlmath]g(x)[/inlmath] proizvod dve funkcije, jedne koja je [inlmath](n-1)[/inlmath]- i izvod funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] i druge koja je [inlmath](n-1)[/inlmath]-i stepen funkcije [inlmath]\mathrm dx[/inlmath]. Odatle sledi:
[dispmath]=\mathrm d\big(g(x)\big)=g'(x)\cdot\mathrm dx=\left[\left(f^{(n-1)}(x)\right)'\cdot(\mathrm dx)^{n-1}+f^{(n-1)}(x)\cdot\left((\mathrm dx)^{n-1}\right)'\right]\cdot\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]=\left[f^{(n)}(x)\cdot(\mathrm dx)^{n-1}+f^{(n-1)}\cdot(n-1)(\mathrm dx)^{n-2}\right]\cdot\mathrm dx=f^{(n)}(x)\cdot(\mathrm dx)^n+f^{(n-1)}(x)\cdot(n-1)(\mathrm dx)^{n-1},[/dispmath]
što očigledno nije ono što se dobije kada je [inlmath]\mathrm dx=\mathrm{const.}[/inlmath]

Dakle, da li mi možete reći da li sam ja dobro video zašto se [inlmath]n[/inlmath]-ti diferencijal može označiti sa [inlmath]\mathrm d^ny=\mathrm d\left(\mathrm d^{n-1}y\right)[/inlmath], kada je [inlmath]\mathrm dx=\mathrm{const.}[/inlmath], a zašto ne može, kada [inlmath]\mathrm dx\ne\mathrm{const.}[/inlmath]?

Gogele je napisao:[dispmath]\cdots=\left[\left(f^{(n-1)}(x)\right)'\cdot(\mathrm dx)^{n-1}+f^{(n-1)}(x)\cdot\left((\mathrm dx)^{n-1}\right)'\right]\cdot\mathrm dx=\left[f^{(n)}(x)\cdot(\mathrm dx)^{n-1}+f^{(n-1)}\cdot(n-1)(\mathrm dx)^{n-2}\right]\cdot\mathrm dx=\cdots[/dispmath]

Ovde imaš grešku, jer, ako si pretpostavio da je [inlmath]\mathrm dx[/inlmath] funkcija koja nije konstantna, tada nije [inlmath]\left((\mathrm dx)^{n-1}\right)'=(n-1)(\mathrm dx)^{n-2}[/inlmath], već je [inlmath]\left((\mathrm dx)^{n-1}\right)'=(n-1)(\mathrm dx)^{n-2}\cdot\left(\mathrm dx\right)'[/inlmath] (formula za izvod složene funkcije, [inlmath]\Big(f\big(g(x)\big)\Big)'=f'_g\cdot g'\left(x\right)[/inlmath]).
I onda će se dobiti izraz
[dispmath]\left[f^{\left(n\right)}\left(x\right)\cdot(\mathrm dx)^{n-1}+f^{\left(n-1\right)}\cdot\left(n-1\right)\left(\mathrm dx\right)^{n-2}\cdot\left(\mathrm dx\right)'\right]\cdot\mathrm dx[/dispmath]
Ako bismo sada [inlmath]\mathrm dx[/inlmath] posmatrali kao konstantu, tada bi [inlmath]\left(\mathrm dx\right)'[/inlmath] bilo jednako nuli, pa bi i ceo drugi sabirak unutar uglaste zagrade bio nula, i ostalo bi samo
[dispmath]\left[f^{\left(n\right)}\left(x\right)\cdot(\mathrm dx)^{n-1}\right]\cdot\mathrm dx[/dispmath]
a to bi bilo [inlmath]f^{\left(n\right)}\left(x\right)\cdot(\mathrm dx)^n[/inlmath], tj. [inlmath]\mathrm d^ny[/inlmath], kako i treba da se dobije.

Što se tiče ostalog dela postupka, razmišljanje ti je u redu.

Gogele je napisao:Zatim piše da, ako [inlmath]\mathrm dx[/inlmath] smatramo konstantom, onda je: [inlmath]\mathrm d^ny=\mathrm d\left(\mathrm d^{n-1}y\right)[/inlmath].

Ja bih to pokazao slično kao što si i ti, samo na, mislim, malo jednostavniji način:
[dispmath]\mathrm d\left(\mathrm d^{n-1}y\right)=\mathrm d\left[f^{\left(n-1\right)}\left(x\right)\left(\mathrm dx\right)^{n-1}\right]\overset{\mathrm dx=\mathrm{const}}{=\!=\!=\!=}\mathrm d\left[f^{\left(n-1\right)}\left(x\right)\right]\left(\mathrm dx\right)^{n-1}=\\
=\left[f^{\left(n-1\right)}\left(x\right)\right]'\mathrm dx\cdot\left(\mathrm dx\right)^{n-1}=f^{\left(n\right)}\left(x\right)\left(\mathrm dx\right)^n=\mathrm d^ny[/dispmath]

Znači, u odeljku 2), gde mi je [inlmath]\mathrm dx\ne\mathrm{const.}[/inlmath], s obzirom da sam napravio previd i nisam video tu još jednu kompoziciju, dobio bih na kraju drugačiji rezultat, sa činiocem [inlmath](\mathrm dx)'[/inlmath] u drugom sabirku, ali to opet ne bi bilo isto kao za [inlmath]\mathrm dx=\mathrm{const.}[/inlmath]. Izvukao sam se!