Ovako ide zadatak Prava [inlmath]3x+8y+25=0[/inlmath] dodiruje elipsu [inlmath]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/inlmath] u tacki [inlmath]A(-3,y_0)[/inlmath]. Odredi jednacinu elipse.

E sad dobio sam zamenom [inlmath]-3[/inlmath] u jednacinu prave i dobio da je [inlmath]y_0=-2[/inlmath].
Nakon toga sam dobio i da je [inlmath]k_t=\frac{-3}{64}[/inlmath]. Ali pojma nemam kako da sredim ovu jednacinu elipse da bih mogao da izvucem [inlmath]y[/inlmath].

Resenje je [inlmath]x^2+4\cdot y^2=25[/inlmath]. Hvala unapred.

jovanmilic97 je napisao:Nakon toga sam dobio i da je [inlmath]k_t=\frac{-3}{64}[/inlmath].

Proveri ovo još jednom. Trebalo bi da dobiješ [inlmath]k_t=-\frac{3}{8}[/inlmath] (ako pod [inlmath]k_t[/inlmath] podrazumevaš koeficijent pravca zadate prave).

E sada, pošto znaš da tačka [inlmath]\left(-3,-2\right)[/inlmath] pripada elipsi (jer to je tačka dodira prave i elipse), uvrstiš te koordinate u jednačinu elipse i dobiješ
[dispmath]\frac{\left(-3\right)^2}{a^2}+\frac{\left(-2\right)^2}{b^2}=1\tag1[/dispmath]
To je jedna jednačina s dve nepoznate, [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]. Potrebna nam je i druga kako bismo odredili [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath].

Drugu jednačinu odredimo iz uslova da u dodirnoj tački prave i elipse nagib elipse mora biti jednak nagibu prave, tj. tangente. Iz jednačine elipse izrazimo [inlmath]y[/inlmath] preko [inlmath]x[/inlmath]:
[dispmath]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\quad\Rightarrow\quad y=\pm b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}[/dispmath]
Pri tome, pošto posmatramo [inlmath]III[/inlmath] kvadrant (jer se tačka [inlmath]\left(-3,-2\right)[/inlmath] nalazi u [inlmath]III[/inlmath] kvadrantu, a u [inlmath]III[/inlmath] kvadrantu su i [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] koordinate negativne, umesto [inlmath]\pm[/inlmath] ispred korena uzimamo znak minus:
[dispmath]y=-b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}[/dispmath]
Pošto znamo da u tački dodira izvod ove funkcije (koja predstavlja onu polovinu elipse koja je ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose) mora biti jednak koeficijentu pravca [inlmath]k_t=-\frac{3}{8}[/inlmath], nalazimo prvi izvod i izjednačavamo ga sa [inlmath]-\frac{3}{8}[/inlmath]:
[dispmath]y'=\left(-b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\right)'=-\frac{3}{8}[/dispmath]
što, kad središ, dobiješ
[dispmath]\frac{b}{a^2}\cdot\frac{x}{\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}}=-\frac{3}{8}[/dispmath]
a nakon uvrštavanja [inlmath]x=-3[/inlmath],
[dispmath]\frac{b}{a^2\sqrt{1-\frac{9}{a^2}}}=\frac{1}{8}\tag2[/dispmath]
i to će biti druga jednačina po nepoznatama [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath].

Reši sistem jednačina [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(2\right)[/inlmath] i dobićeš [inlmath]\left(a,b\right)=\left(5,\frac{5}{2}\right)[/inlmath], što nakon uvrstavanja u jednačinu elipse [inlmath]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/inlmath] daje upravo [inlmath]x^2+4y^2=25[/inlmath], kako i piše u rešenju.

Prava [inlmath]p[/inlmath], elipsa [inlmath]e[/inlmath]
[inlmath](p):\;3x+8y+25=0\\
(p_0):\;3x_0+8y_0+25=3(-3)+8(-2)+25=0\\
3\mathrm dx+8\mathrm dy=0\\
\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=-\frac{3}{8}[/inlmath]

[inlmath](e):\;\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\
\frac{2x\mathrm dx}{a^2}+\frac{2y\mathrm dy}{b^2}=0\\
\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=-\frac{xb^2}{ya^2}[/inlmath]

[inlmath]\frac{xb^2}{ya^2}=\frac{3}{8}\\
(x_0,y_0):\;\frac{(-3)b^2}{(-2)a^2}=\frac{3}{8}\\
a^2=4b^2[/inlmath]

[inlmath](e_0):\;\frac{9}{4b^2}+\frac{4}{b^2}=1\\
4b^2=25\\
(e):\;\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{\frac{25}{4}}=1\\
(e):\;x^2+4y^2=25[/inlmath]

Previše vremena za LaTeX mi ode.