MATEMANIJA

[dispmath]f\left(x\right)=\ln\frac{1}{x}[/dispmath][dispmath]f'\left(x\right)=\frac{1}{\frac{1}{x}}\cdot 1=x[/dispmath]

---

[dispmath]f\left(x\right)=\frac{e^x-1}{x}[/dispmath][dispmath]f'\left(x\right)=\frac{e^x\cdot x-\left(e^x-1\right)}{x^2}=\frac{e^x\left(x-1+\frac{1}{e^x}\right)}{x^2}[/dispmath][dispmath]f''\left(x\right)=\frac{\left[e^x\left(x-1+\frac{1}{e^x}\right)+e^x\left(1+\frac{1}{e^x}\right)\right]x^2-\left[e^x\left(x-1+\frac{1}{e^x}\right)2x\right]}{x^4}[/dispmath][dispmath]=\frac{\left[e^x\left(x-1+\frac{1}{e^x}+1+\frac{1}{e^x}\right)\right]x^2-2xe^x\left(x-1+\frac{1}{e^x}\right)}{x^4}[/dispmath][dispmath]=\frac{xe^x\left[x\left(x+\frac{2}{e^x}\right)-2\left(x-1+\frac{1}{e^x}\right)\right]}{x^4}[/dispmath][dispmath]=\frac{e^x\left(x^2+\frac{2x}{e^x}-2x+2-\frac{2}{e^x}\right)}{x^3}[/dispmath]
Prvi treba ispast [inlmath]\frac{-1}{x}[/inlmath] , a drugi mi treba provjerit je li točan

U prvom
[dispmath]\left(\ln\frac{1}{x}\right)'=\frac{1}{\frac{1}{x}}\cdot\left(\frac{1}{x}\right)'=\cdots[/dispmath]
A u drugom zadatku si se zezno u trećem redu, kada si za izvod od [inlmath]\frac{1}{e^x}[/inlmath] napisao da je to [inlmath]\frac{1}{e^x}[/inlmath]. A zapravo je
[dispmath]\left(\frac{1}{e^x}\right)'=\left(e^{-x}\right)'=e^{-x}\cdot\left(-x\right)'=e^{-x}\cdot\left(-1\right)=-e^{-x}=-\frac{1}{e^x}[/dispmath]
A i inače si zadatak mnogo zakomplikovao, mislim da bi ti bilo lakše da si u drugom redu samo ostavio izraz [inlmath]\frac{xe^x-e^x+1}{x^2}[/inlmath] pa zatim od njega tražio izvod...
Treba na kraju da se dobije[dispmath]\frac{\left(x^2-2x+2\right)e^x-2}{x^3}[/dispmath]

Onda bi ta tri pribrojnika isto gledali kao jedan faktor pri deriviranju? Tj. je, tako je, ali ovako sam nekako sigurniji kad je umnožak