MATEMANIJA

Potrebno mi je (ako je moguce) po koracima rešenje nekog od sledecih zadataka:

Po definiciji naći izvod
1) [inlmath]f(x)=x\ln(\sin x)[/inlmath]
2) [inlmath]f(x)=x\ln(\cos x)[/inlmath]
3) [inlmath]f(x)=x\ln(\ln x)[/inlmath]

Hitno mi je potrebno, pa ukoliko je neko u mogućnosti, bio bih mu zahvala.

Pozdrav, molim te da se upoznaš s Pravilnikom ovog foruma.
Niti se zadaci ovako postavljaju, niti je ideja ovog foruma da rešavamo zadatke po koracima (tačka 6. Pravilnika).
Rado ćemo ti pomoći ako ukažeš na konkretan problem koji se javlja kad rešavaš ove zadatke.
Za početak, znaš li kako glasi izvod po definiciji i jesi li uvrstio ove funkcije u tu definiciju?

(Dodao sam ti Latex u post, koji je, prema tački 13. Pravilnika, na ovom forumu takođe obavezan.)

Ovi problemi deluju interesantno pa cu da resim samo jedan kao pomoc.
[dispmath]\lim_{h\to0}\frac{(x+h)\ln\ln(x+h)-x\ln\ln x}{h}=\\
=\lim_{h\to0}\frac{(x\ln\ln(x+h)+h\ln\ln(x+h)-x\ln\ln x}{h}=\\
=\lim_{h\to0}\left[\frac{(x\ln\ln(x+h)-x\ln\ln x}{h}+\ln\ln(x+h)\right]=\\
=\lim_{h\to0}\left[\frac{x(\ln\ln(x+h)-\ln\ln x)}{h}+\ln\ln(x+h)\right]=\\
=\lim_{h\to0}\left[\frac{x\left(\ln\ln\left(x\left(1+\frac{h}{x}\right)\right)-\ln\ln x\right)}{h}+\ln\ln(x+h)\right]=\\
=\lim_{h\to0}\left[\frac{x\left(\ln\left(\ln x+\ln\left(1+\frac{h}{x}\right)\right)-\ln\ln x\right)}{h}+\ln\ln(x+h)\right]=\\
=\lim_{h\to0}\Biggl[\frac{x\Bigl(\ln\Bigl(\ln(x)\Bigl(1+\frac{\ln\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\ln x}\Bigr)\Bigr)-\ln\ln x\Bigr)}{h}+\ln\ln(x+h)\Biggr]=\\
=\lim_{h\to0}\Biggl[\frac{x\Bigl(\ln\ln x+\ln\Bigl(1+\frac{\ln\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\ln x}\Bigr)-\ln\ln x\Bigr)}{h}+\ln\ln(x+h)\Biggr]=\\
=\lim_{h\to0}\Biggl[\frac{x\ln\Bigl(1+\frac{\ln\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\ln x}\Bigr)}{h}+\ln\ln(x+h)\Biggr]=\\
=\lim_{h\to0}\Biggl[\frac{x}{h}\frac{\ln\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\ln x}\frac{\ln\Bigl(1+\frac{\ln\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\ln x}\Bigr)}{\frac{\ln\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\ln x}}+\ln\ln(x+h)\Biggr]=\\
=\lim_{h\to0}\frac{x}{h}\frac{\ln\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\ln x}\lim_{h\to0}\frac{\ln\Bigl(1+\frac{\ln\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\ln x}\Bigr)}{\frac{\ln\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\ln x}}+\lim_{h\to0}\ln\ln(x+h)=\\
=\lim_{h\to0}\frac{\ln\left(1+\frac{h}{x}\right)^\frac{x}{h}}{\ln x}\cdot1+\ln\ln x=\frac{\ln e}{\ln x}+\ln\ln x=\ln\ln x+\frac{1}{\ln x}[/dispmath]
Ovde su u pocetnim koracima korisceno pravilo logaritama [inlmath]\log(xy)=\log x+\log y[/inlmath], a u krajnjim su korisceni limesi [inlmath]\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{x\to0}(1+x)^\frac{1}{x}=e[/inlmath] i pravilo [inlmath]x\log y=\log y^x[/inlmath]