MATEMANIJA

Trebam da nadjem [inlmath]n[/inlmath]-ti izvod
[dispmath]y=\frac{1}{x^2-4}[/dispmath]
Počeo sam da radim redom izvode:
[dispmath]y^1=-\frac{2}{\left(x^2-4\right)^2}[/dispmath][dispmath]y^2=\frac{6x^2-8}{\left(x^2-4\right)^3}[/dispmath][dispmath]y^3=-\frac{24x^3-96x}{\left(x^2-4\right)^4}[/dispmath][dispmath]\vdots[/dispmath]
I onda ajde da vidim [inlmath]n[/inlmath]-ti izvod:
[dispmath]y^n=(-1)^n\frac{}{\left(x^2-4\right)^{n+1}}[/dispmath] i tu sam stao jer ne znam šta treba da bude u brojiocu. Ako neko vidi sta je u brojiocu neka javi
P.S. Da li ovaj primer moze da se uradi pomoću Lajbnicove formule?
Hvala unapred.

Pogresno si napisao prvi izvod funkcije. Ideja ti je pogresna zato sto ovde ako nastavis tako dobijaces jos komplikovanije izraze u brojiocu.
Ideja je da razbijes na dve funkcije koje nece imati kvadrat u imeniocu.
[dispmath]y=\frac{1}{x^2-4}=\frac{1}{(x-2)(x+2)}=\frac{1}{4}\Big(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\Big)[/dispmath]
I sada je lako naci [inlmath]n[/inlmath]-ti izvod:
[dispmath]y^{(n)}=\frac{(-1)^nn!}{4}\Big(\frac{1}{(x-2)^{n+1}}-\frac{1}{(x+2)^{n+1}}\Big)[/dispmath]

@Hazii, samo jedna napomena – prvi, drugi, treći izvod nije korektno pisati [inlmath]y^1[/inlmath], [inlmath]y^2[/inlmath], [inlmath]y^3[/inlmath]. Uobičajeno ih je pisati kao [inlmath]y'[/inlmath], [inlmath]y''[/inlmath], [inlmath]y'''[/inlmath], ali ako ih već pišeš s brojkama, onda brojke moraju biti u zagradi: [inlmath]y^{(1)}[/inlmath], [inlmath]y^{(2)}[/inlmath], [inlmath]y^{(3)}[/inlmath].

Trougao je napisao:Pogresno si napisao prvi izvod funkcije. Ideja ti je pogresna zato sto ovde ako nastavis tako dobijaces jos komplikovanije izraze u brojiocu.
Ideja je da razbijes na dve funkcije koje nece imati kvadrat u imeniocu.
[dispmath]y=\frac{1}{x^2-4}=\frac{1}{(x-2)(x+2)}=\frac{1}{4}\Big(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\Big)[/dispmath]
I sada je lako naci [inlmath]n[/inlmath]-ti izvod:
[dispmath]y^{(n)}=\frac{(-1)^nn!}{4}\Big(\frac{1}{(x-2)^{n+1}}-\frac{1}{(x+2)^{n+1}}\Big)[/dispmath]

Glupo mi je sad da kažem ali palo mi je to na pamet, jer mi je bilo sumnjivo što su stavili [inlmath]x^2+4[/inlmath] u imeniocu Ali Hvala ti puno!

Daniel je napisao:@Hazii, samo jedna napomena – prvi, drugi, treći izvod nije korektno pisati [inlmath]y^1[/inlmath], [inlmath]y^2[/inlmath], [inlmath]y^3[/inlmath]. Uobičajeno ih je pisati kao [inlmath]y'[/inlmath], [inlmath]y''[/inlmath], [inlmath]y'''[/inlmath], ali ako ih već pišeš s brojkama, onda brojke moraju biti u zagradi: [inlmath]y^{(1)}[/inlmath], [inlmath]y^{(2)}[/inlmath], [inlmath]y^{(3)}[/inlmath].

Jedva sam se snašao da iskucam sve ovo u Latex-u, ali nisam uspeo da nadjem i te crtice kako se pišu, pa sam napisao brojeve. Zapamtio za sledeći put

Hazii je napisao:ali nisam uspeo da nadjem i te crtice kako se pišu, pa sam napisao brojeve.

Te „crtice“ su ti, zapravo, obični apostrofi na tastaturi.