MATEMANIJA

Približna jednakost na koju mislim u naslovu je sledeća:
[dispmath]f(x+\Delta x)\sim f(x)+\Delta xf'(x).[/dispmath] Na osnovu date približne jednakosti imamo da važi: [inlmath]\sin(x+\Delta x)\sim\sin x+\Delta x\cos x[/inlmath]. Kada pokušam da nađem izvod leve strane dobijene približne jednakosti dobijem sledeće:
[dispmath]\sin'(x+\Delta x)=\cos(x+\Delta x)(x+\Delta x)'=\bigl(1+(\Delta x)'\bigr)\cos(x+\Delta x)[/dispmath] Kako se u ovom slučaju ponaša funkcija [inlmath]\Delta x[/inlmath]? Da li je posmatramo kao vrlo malu konstantu, jer [inlmath]\Delta x\to0[/inlmath]? Da li bi u tom slučaju i njen izvod i njena vrednost (koja je deo argumenta kosinusa) bili jednaki nula?

Ako obratiš pažnju, videćeš da kada bi ti [inlmath]\Delta x\to0[/inlmath], ti bi zapravo imao definiciju prvog izvoda. Drugim rečima, ova aproksimacija je dovoljno tačna samo ako je [inlmath]\Delta x[/inlmath] dovoljno malo. Ili, ako hoćeš, što ti je veće [inlmath]\Delta x[/inlmath], veća ti je i greška aproksimacije. Tebi [inlmath]\Delta x[/inlmath] ne predstavlja funkciju po [inlmath]x[/inlmath] (ili bilo kojoj drugoj promenljivoj) već priraštaj nezavisno promenljive [inlmath]x[/inlmath] (ili, narodski rečeno neki beskonačno mali broj). A izvod bilo kog broja znamo koliko iznosi.

Znači, vrednost je nula u oba slučaja. Hvala!