MATEMANIJA

[dispmath]f\left(x\right)=\begin{cases}
x^2-5x+6, & \mathrm{za}\:x\in\left[0,2\right]\\
-\left(x^2-5x+6\right), & \mathrm{za}\:x\in\left(2,\frac{12}{5}\right]
\end{cases}[/dispmath]
[dispmath]f'\left(x\right)=\begin{cases}
2x-5, & \mathrm{za}\:x\in\left(0,2\right)\\
-2x+5, & \mathrm{za}\:x\in\left(2,\frac{12}{5}\right)
\end{cases}[/dispmath]
samo me interesuje zasto se uglaste zagrade gube, kod prvog izvoda, jer ja ubacivanjem dvojke umesto [inlmath]x[/inlmath] u pocetnu funkciju dobijam [inlmath]f(2)=0[/inlmath], sto je na kraju i resenje, no nebitno, samo me zanima, zasto su se zagrade tu izgubile, tj zasto su ti brojevi iskljuceni, ne treba mi specijalno objasnjenje, nego samo da mi neko potvrdi da li je to greska, ili pravilo ili sta vec?

Nije greška, sve je ispravno napisano.

Prvo, zašto izvod nije definisan u tačkama [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{12}{5}[/inlmath], iako sama funkcija u tim tačkama jeste definisana?
Izvod se određuje tako što se posmatra priraštaj funkcije u nekoj beskonačno maloj okolini tačke za koju se izvod traži. To znači, da bi izvod u toj tački bio definisan, neophodno je i da sama funkcija bude definisana u nekoj okolini te tačke. Međutim, ova funkcija, iako je definisana u tački [inlmath]x=0[/inlmath] i u njenoj desnoj okolini, nije definisana i u njenoj levoj okolini, tj. za [inlmath]x<0[/inlmath]. Analogno tome, iako je funkcija definisana u tački [inlmath]x=\frac{12}{5}[/inlmath] kao i u njenoj levoj okolini, nije definisana i u njenoj desnoj okolini, tj. za [inlmath]x>\frac{12}{5}[/inlmath]. E, zato izvod u ovim tačkama nije definisan.

Što se tiče tačke [inlmath]x=2[/inlmath], vrednost funkcije jeste definisana u toj tački, kao i u obe njene okoline, međutim, tu sad imamo jedan drugi „problem“. Ako potražimo izvod levo od tačke [inlmath]x=2[/inlmath], taj izvod će biti jednak [inlmath]f'\left(x\right)=2x-5[/inlmath], pa će izvod u beskonačno maloj levoj okolini tačke [inlmath]x=2[/inlmath] biti [inlmath]f'\left(2^-\right)=2\cdot 2-5=-1[/inlmath]. Desno od tačke [inlmath]x=2[/inlmath] izvod će biti [inlmath]f'\left(x\right)=-2x+5[/inlmath], pa će izvod u beskonačno maloj desnoj okolini tačke [inlmath]x=2[/inlmath] biti [inlmath]f'\left(2^+\right)=-2\cdot 2+5=1[/inlmath].
Znači, izvodi u levoj i desnoj beskonačno maloj okolini tačke [inlmath]x=2[/inlmath] nisu jednaki, pa izvod u samoj tački [inlmath]x=2[/inlmath] nije definisan.

---

Grafičko objašnjenje bi bilo sledeće: izvod u nekoj tački funkcije predstavlja nagib tangente na grafik funkcije u toj tački. Prema tome, da bi izvod u nekoj tački funkcije bio definisan, potrebno je da u toj tački i tangenta na grafik funkcije bude jednoznačno određena. Zbog toga je izvod definisan samo na glatkim delovima funkcije, dok tamo gde imamo nagle skokove, padove, „šiljke“, izvod nije definisan.

Grafik ove funkcije bi izgledao ovako:


Pošto u tački [inlmath]x=2[/inlmath] imamo „šiljak“, a kroz „šiljak“ je moguće provući beskonačan broj tangenti, s isto tako beskonačno mnogo različitih nagiba, izvod u toj tački nije određen. Slično važi i za tačke na granicama područja definisanosti funkcije – [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{12}{5}[/inlmath] – i kroz te tačke možemo povući beskonačno mnogo tangenti na funkciju, pa izvod ni u njima nije određen.