od Onomatopeja » Sreda, 14. Avgust 2019, 12:52
Oba zadatka se mogu resiti primenom teorema o srednjoj vrednosti. Za prvi se moze uociti funkcija [inlmath]\displaystyle F(x)=\int_0^{x/3} f(t)dt + \int_{2x/3}^x f(t)dt - 2 \int_{x/3}^{2x/3} f(t)dt[/inlmath]. Tada je [inlmath]F(0)=F(1)=0[/inlmath], pa nam primena Rolove teoreme daje da postoji [inlmath]\xi\in(0,1)[/inlmath] takvo da je [inlmath]F'(\xi)=0[/inlmath]. Kada se nadje izvod, dobija se da je [inlmath]F'(\xi)=f(\xi/3)+f(\xi)-2f(2\xi/3)=0[/inlmath], sto se moze zapisati i kao
[inlmath](f(\xi)-f(2\xi/3))-(f(2\xi/3)-f(\xi/3))=0[/inlmath]. Sada na svaku od ovih zagrada primeni teoremu Langranža (na intervale [inlmath](2\xi/3,\xi)[/inlmath] i [inlmath](\xi/3,2\xi/3)[/inlmath]) i rezultat ce slediti uz malo rada.
Za drugi, moze se primeniti Tejlorov razvoj oko tachke [inlmath]0[/inlmath] za [inlmath]\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}[/inlmath], kada se dobija da je [inlmath]f(\frac12)=\frac{f''(c)}{2}(\frac12-0)^2[/inlmath] za neko [inlmath]c\in [0,\frac12][/inlmath], odakle je [inlmath]f''(c)=8f(\frac12)[/inlmath]. Slicno, primenom Tejlorovog razvoja oko tacke [inlmath]1[/inlmath] za [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], dobija se sada da postoji [inlmath]d\in [\frac12,1][/inlmath] takvo da je [inlmath]f''(d)=8(f(\frac12)-1)[/inlmath]. Spajajuci te dve jednacine dobija se [inlmath]\frac{f''(c)-f''(d)}{2}=4[/inlmath]. I sada se mogu desiti dve mogucnosti: ili je [inlmath]|f''(c)|\ge |f''(d)|[/inlmath], kada se moze izvesti da vazi [inlmath]|f''(c)|\ge 4[/inlmath] (na primer, tada je [inlmath]\displaystyle |f''(c)|\ge \frac{|f''(c)|+|f''(d)|}{2}\ge \frac{|f''(c)-f''(d)|}{2} = 4[/inlmath]), ili je [inlmath]|f''(c)|< |f''(d)|[/inlmath] odakle ponovo slicno mozemo dobiti da je [inlmath]|f''(d)|> 4[/inlmath]. Dakle, u bilo kojem od ta dva slucaja vidimo da postoji nase trazeno [inlmath]x_0[/inlmath].