Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA IZVODI FUNKCIJA

Tangenta krive

[inlmath]\left(x^n\right)'=nx^{n-1}[/inlmath]

Tangenta krive

Postod gocaa5 » Nedelja, 22. Decembar 2019, 11:24

Dakle, zadatak glasi:
Prava [inlmath]t[/inlmath] je tangenta krive [inlmath]y=(-x)^{-x}[/inlmath] u tacki [inlmath]A(-1,-1)[/inlmath] i krive [inlmath]y=-x^2-5x-4[/inlmath] u tacki [inlmath]B[/inlmath]. Odrediti koordinate tacke [inlmath]B[/inlmath].

Nakon nalazenja izvoda funkcije prve krive dobijam da je on jednak: [inlmath]f'(x)=-\frac{1+\ln(-x)}{(-x)^x}[/inlmath]. Kada taj izvod, funkciju koja mi je data kao i tacku koja joj pripada ubacim u jednacinu tangente koja glasi: [inlmath]y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)[/inlmath] (radimo sa ovom formulom) dobijem jednacinu [inlmath]\frac{(-x_0)^{x_0}}{\ln(-x_0)}+x_0=-1[/inlmath], odakle ne znam da izvucem nepoznatu. Mathway mi kao rjesenja izbaca dva razlomka ali ne znam kako bih do toga dosla. Hvala na pomoci unaprijed.
Poslednji put menjao Daniel dana Ponedeljak, 23. Decembar 2019, 02:22, izmenjena samo jedanput
Razlog: Korekcija Latexa (ln -> \ln)
gocaa5  OFFLINE
BANOVANA (klon)
 
Postovi: 14
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Tangenta krive

Postod Daniel » Nedelja, 22. Decembar 2019, 20:17

gocaa5 je napisao:Prava [inlmath]t[/inlmath] je tangenta krive [inlmath]y=(-x)^{-x}[/inlmath] u tacki [inlmath]A(-1,-1)[/inlmath]

Tačka [inlmath]A(-1,-1)[/inlmath] ne pripada krivoj [inlmath]y=(-x)^{-x}[/inlmath] (što se lako proverava uvrštavanjem koordinata tačke [inlmath]A[/inlmath] u jednačinu krive).
Samim tim, kriva [inlmath]y=(-x)^{-x}[/inlmath] ne može imati tangentu u tacki [inlmath]A(-1,-1)[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Tangenta krive

Postod gocaa5 » Nedelja, 22. Decembar 2019, 21:23

Da, greska je u postavci. Onda bi valjda trebalo da bude [inlmath]A(-1,1)[/inlmath]? U tom slucaju dobijam jednacinu [inlmath]\ln(-x_0)+x_0\ln(-x_0)=(-x_0)^{x_0}[/inlmath]. Da li treba da podelim sa necim ili ln-ujem obe strane ne znam kako bih krenula.
Poslednji put menjao Daniel dana Ponedeljak, 23. Decembar 2019, 02:25, izmenjena samo jedanput
Razlog: Korekcija Latexa (ln -> \ln)
gocaa5  OFFLINE
BANOVANA (klon)
 
Postovi: 14
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Tangenta krive

Postod Daniel » Ponedeljak, 23. Decembar 2019, 13:22

Nisam uspeo da skontam kako si došla do te jednačine.
Imam utisak da si koordinate tačke [inlmath]A[/inlmath] uvrštavala umesto [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] u jednačinu [inlmath]y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)[/inlmath], što je pogrešno – ali i u tom slučaju se ne bi dobila ta jednačina koju si ti dobila.
Jednačina tangente [inlmath]y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)[/inlmath] ima oblik jednačine prave (što je logično, jer i tangenta je prava) koja prolazi kroz tačku s [inlmath]x[/inlmath]-koordinatom [inlmath]x_0[/inlmath], i čiji je koeficijent pravca jednak [inlmath]f'(x_0)[/inlmath].
Dakle, ispravan postupak je u jednačinu [inlmath]y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)[/inlmath] uvrstiti [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu tačke [inlmath]A[/inlmath] umesto [inlmath]x_0[/inlmath] (dakle, ne umesto [inlmath]x[/inlmath] već umesto [inlmath]x_0[/inlmath]).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Tangenta krive

Postod gocaa5 » Ponedeljak, 23. Decembar 2019, 14:26

U tom slucaju dobijam jednacinu tangente koja bi trebalo da glasi [inlmath]y=-x[/inlmath]. Onda pretpostavljam da isto radim sa drugom krivom, nadjem njenu tangentu za koju dobijem: [inlmath]y=(-2x_0-5)x+(x_0)^2-4[/inlmath]. Ako im izjednacim koeficijente pravca dobijem da je [inlmath]x_0=-2[/inlmath]. Ako je ovo tacan postupak drugu koordinatu dobijam tako sto dobijeno [inlmath]x_0[/inlmath] ubacim u jednacinu krive?
gocaa5  OFFLINE
BANOVANA (klon)
 
Postovi: 14
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Tangenta krive

Postod Daniel » Utorak, 24. Decembar 2019, 13:47

gocaa5 je napisao:U tom slucaju dobijam jednacinu tangente koja bi trebalo da glasi [inlmath]y=-x[/inlmath]. Onda pretpostavljam da isto radim sa drugom krivom, nadjem njenu tangentu za koju dobijem: [inlmath]y=(-2x_0-5)x+(x_0)^2-4[/inlmath].

:correct:

gocaa5 je napisao:Ako im izjednacim koeficijente pravca dobijem da je [inlmath]x_0=-2[/inlmath]. Ako je ovo tacan postupak drugu koordinatu dobijam tako sto dobijeno [inlmath]x_0[/inlmath] ubacim u jednacinu krive?

Izjednačavanjem koeficijenata pravaca postavljaš uslov da tangenta na prvu krivu i tangenta na drugu krivu budu međusobno paralelne. A hoće li se i poklapati (što je nama i cilj), to zavisi od oblika i položaja samih krivih. Ilustrovaću to sledećim slučajevima:

tangente.png
tangente.png (6.61 KiB) Pogledano 1895 puta

U slučajevima kao na slici kada su tangente paralelne ali se ne poklapaju, zadatak nema rešenja, jer ne postoji zajednička tangenta iz tačke [inlmath]A[/inlmath] kakva se traži u zadatku. Ali, ako se smemo osloniti na to da je autor zadatka već proverio i utvrdio da će se te dve tangente poklapati, tj. da je u pitanju zajednička tangenta, tada je dovoljno postaviti uslov da koeficijenti pravaca budu jednaki.
U tom slučaju, [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu možeš dobiti tako kako si predložila, uvrštavanjem u jednačinu krive [inlmath]y=-x^2-5x-4[/inlmath], ili nešto jednostavnije, uvrštavanjem u jednačinu tangente [inlmath]y=-x[/inlmath].

Ipak, ja se lično ne bih na to oslanjao, već bih proverio, jer može biti i trik-pitanje. A proverava se na neki od sledeća dva načina:
  • Tako što se ispita da li bilo koja tačka te nove tangente (npr. tačka [inlmath]B[/inlmath]) pripada i tangenti [inlmath]y=-x[/inlmath]. Znači, [inlmath]x[/inlmath]-koordinata te tačke (tj. [inlmath]x=-2[/inlmath]) uvrsti se i u [inlmath]y=-x^2-5x-4[/inlmath] i u [inlmath]y=-x[/inlmath] i proveri se da li se dobije ista [inlmath]y[/inlmath]-koordinata.
  • Tako što se u dobijenu jednačinu druge tangente, [inlmath]y=(-2x_0-5)x+(x_0)^2-4[/inlmath], uvrsti [inlmath]x_0=-2[/inlmath] koje si dobila, i proveri se da li će se time dobiti ista jednačina kao i jednačina prve tangente, [inlmath]y=-x[/inlmath].

Ukoliko se utvrdi (a utvrdiće se) da se tangente poklapaju, to onda jeste zajednička tangenta koja se i traži u zadatku, i to je onda situacija na sledećoj slici:

tangenta.png
tangenta.png (2.67 KiB) Pogledano 1895 puta



Drugi način rešavanja bio bi da, nakon što dobiješ jednačinu tangente prve krive, [inlmath]y=-x[/inlmath], nađeš njene zajedničke tačke s drugom krivom [inlmath]y=-x^2-5x-4[/inlmath]. Ukoliko se dobiju dva rešenja znači da tangenta prve krive seče drugu krivu tj. da joj nije tangenta, ukoliko se ne dobiju realna rešenja znači da tangenta prve krive i druga kriva nemaju zajedničkih tačaka, a ukoliko se dobije jedno rešenje znači da postoji jedna zajednička (tj. dodirna) tačka, što znači da tangenta prve krive jeste i tangenta druge krive, tj. u pitanju je zajednička tangenta, kao što se i traži.
Naravno, zajedničke tačke određuješ tako što izjednačiš desne strane: [inlmath]-x=-x^2-5x-4[/inlmath]. Kao rešenje će se dobiti [inlmath](x+2)^2=0[/inlmath], tj. postoji samo jedno rešenje [inlmath]x=-2[/inlmath], čime je potvrđeno da je ta tangenta zajednička.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Tangenta krive

Postod gocaa5 » Utorak, 24. Decembar 2019, 16:14

Hvala puno na detaljno objasnjenom odgovoru, sada mi je mnogo jasnije i sama sam se pitala koliko je ispravno postaviti da su koeficijenti pravaca jednaki jer se ne zna da li su paralelne. Konacno skontah ;)
gocaa5  OFFLINE
BANOVANA (klon)
 
Postovi: 14
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na IZVODI FUNKCIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 35 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 13:29 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs