MATEMANIJA

Dakle, zadatak glasi:
Prava [inlmath]t[/inlmath] je tangenta krive [inlmath]y=(-x)^{-x}[/inlmath] u tacki [inlmath]A(-1,-1)[/inlmath] i krive [inlmath]y=-x^2-5x-4[/inlmath] u tacki [inlmath]B[/inlmath]. Odrediti koordinate tacke [inlmath]B[/inlmath].

Nakon nalazenja izvoda funkcije prve krive dobijam da je on jednak: [inlmath]f'(x)=-\frac{1+\ln(-x)}{(-x)^x}[/inlmath]. Kada taj izvod, funkciju koja mi je data kao i tacku koja joj pripada ubacim u jednacinu tangente koja glasi: [inlmath]y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)[/inlmath] (radimo sa ovom formulom) dobijem jednacinu [inlmath]\frac{(-x_0)^{x_0}}{\ln(-x_0)}+x_0=-1[/inlmath], odakle ne znam da izvucem nepoznatu. Mathway mi kao rjesenja izbaca dva razlomka ali ne znam kako bih do toga dosla. Hvala na pomoci unaprijed.

gocaa5 je napisao:Prava [inlmath]t[/inlmath] je tangenta krive [inlmath]y=(-x)^{-x}[/inlmath] u tacki [inlmath]A(-1,-1)[/inlmath]

Tačka [inlmath]A(-1,-1)[/inlmath] ne pripada krivoj [inlmath]y=(-x)^{-x}[/inlmath] (što se lako proverava uvrštavanjem koordinata tačke [inlmath]A[/inlmath] u jednačinu krive).
Samim tim, kriva [inlmath]y=(-x)^{-x}[/inlmath] ne može imati tangentu u tacki [inlmath]A(-1,-1)[/inlmath].

Da, greska je u postavci. Onda bi valjda trebalo da bude [inlmath]A(-1,1)[/inlmath]? U tom slucaju dobijam jednacinu [inlmath]\ln(-x_0)+x_0\ln(-x_0)=(-x_0)^{x_0}[/inlmath]. Da li treba da podelim sa necim ili ln-ujem obe strane ne znam kako bih krenula.

Nisam uspeo da skontam kako si došla do te jednačine.
Imam utisak da si koordinate tačke [inlmath]A[/inlmath] uvrštavala umesto [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] u jednačinu [inlmath]y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)[/inlmath], što je pogrešno – ali i u tom slučaju se ne bi dobila ta jednačina koju si ti dobila.
Jednačina tangente [inlmath]y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)[/inlmath] ima oblik jednačine prave (što je logično, jer i tangenta je prava) koja prolazi kroz tačku s [inlmath]x[/inlmath]-koordinatom [inlmath]x_0[/inlmath], i čiji je koeficijent pravca jednak [inlmath]f'(x_0)[/inlmath].
Dakle, ispravan postupak je u jednačinu [inlmath]y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)[/inlmath] uvrstiti [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu tačke [inlmath]A[/inlmath] umesto [inlmath]x_0[/inlmath] (dakle, ne umesto [inlmath]x[/inlmath] već umesto [inlmath]x_0[/inlmath]).

U tom slucaju dobijam jednacinu tangente koja bi trebalo da glasi [inlmath]y=-x[/inlmath]. Onda pretpostavljam da isto radim sa drugom krivom, nadjem njenu tangentu za koju dobijem: [inlmath]y=(-2x_0-5)x+(x_0)^2-4[/inlmath]. Ako im izjednacim koeficijente pravca dobijem da je [inlmath]x_0=-2[/inlmath]. Ako je ovo tacan postupak drugu koordinatu dobijam tako sto dobijeno [inlmath]x_0[/inlmath] ubacim u jednacinu krive?

gocaa5 je napisao:U tom slucaju dobijam jednacinu tangente koja bi trebalo da glasi [inlmath]y=-x[/inlmath]. Onda pretpostavljam da isto radim sa drugom krivom, nadjem njenu tangentu za koju dobijem: [inlmath]y=(-2x_0-5)x+(x_0)^2-4[/inlmath].

gocaa5 je napisao:Ako im izjednacim koeficijente pravca dobijem da je [inlmath]x_0=-2[/inlmath]. Ako je ovo tacan postupak drugu koordinatu dobijam tako sto dobijeno [inlmath]x_0[/inlmath] ubacim u jednacinu krive?

Izjednačavanjem koeficijenata pravaca postavljaš uslov da tangenta na prvu krivu i tangenta na drugu krivu budu međusobno paralelne. A hoće li se i poklapati (što je nama i cilj), to zavisi od oblika i položaja samih krivih. Ilustrovaću to sledećim slučajevima:


U slučajevima kao na slici kada su tangente paralelne ali se ne poklapaju, zadatak nema rešenja, jer ne postoji zajednička tangenta iz tačke [inlmath]A[/inlmath] kakva se traži u zadatku. Ali, ako se smemo osloniti na to da je autor zadatka već proverio i utvrdio da će se te dve tangente poklapati, tj. da je u pitanju zajednička tangenta, tada je dovoljno postaviti uslov da koeficijenti pravaca budu jednaki.
U tom slučaju, [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu možeš dobiti tako kako si predložila, uvrštavanjem u jednačinu krive [inlmath]y=-x^2-5x-4[/inlmath], ili nešto jednostavnije, uvrštavanjem u jednačinu tangente [inlmath]y=-x[/inlmath].

Ipak, ja se lično ne bih na to oslanjao, već bih proverio, jer može biti i trik-pitanje. A proverava se na neki od sledeća dva načina:

• Tako što se ispita da li bilo koja tačka te nove tangente (npr. tačka [inlmath]B[/inlmath]) pripada i tangenti [inlmath]y=-x[/inlmath]. Znači, [inlmath]x[/inlmath]-koordinata te tačke (tj. [inlmath]x=-2[/inlmath]) uvrsti se i u [inlmath]y=-x^2-5x-4[/inlmath] i u [inlmath]y=-x[/inlmath] i proveri se da li se dobije ista [inlmath]y[/inlmath]-koordinata.
• Tako što se u dobijenu jednačinu druge tangente, [inlmath]y=(-2x_0-5)x+(x_0)^2-4[/inlmath], uvrsti [inlmath]x_0=-2[/inlmath] koje si dobila, i proveri se da li će se time dobiti ista jednačina kao i jednačina prve tangente, [inlmath]y=-x[/inlmath].

Ukoliko se utvrdi (a utvrdiće se) da se tangente poklapaju, to onda jeste zajednička tangenta koja se i traži u zadatku, i to je onda situacija na sledećoj slici:

---

Drugi način rešavanja bio bi da, nakon što dobiješ jednačinu tangente prve krive, [inlmath]y=-x[/inlmath], nađeš njene zajedničke tačke s drugom krivom [inlmath]y=-x^2-5x-4[/inlmath]. Ukoliko se dobiju dva rešenja znači da tangenta prve krive seče drugu krivu tj. da joj nije tangenta, ukoliko se ne dobiju realna rešenja znači da tangenta prve krive i druga kriva nemaju zajedničkih tačaka, a ukoliko se dobije jedno rešenje znači da postoji jedna zajednička (tj. dodirna) tačka, što znači da tangenta prve krive jeste i tangenta druge krive, tj. u pitanju je zajednička tangenta, kao što se i traži.
Naravno, zajedničke tačke određuješ tako što izjednačiš desne strane: [inlmath]-x=-x^2-5x-4[/inlmath]. Kao rešenje će se dobiti [inlmath](x+2)^2=0[/inlmath], tj. postoji samo jedno rešenje [inlmath]x=-2[/inlmath], čime je potvrđeno da je ta tangenta zajednička.

Hvala puno na detaljno objasnjenom odgovoru, sada mi je mnogo jasnije i sama sam se pitala koliko je ispravno postaviti da su koeficijenti pravaca jednaki jer se ne zna da li su paralelne. Konacno skontah