MATEMANIJA

Trebaju mi prvi i drugi izvod funkcije.
[dispmath]\sqrt{\frac{(x+1)^3}{x}}[/dispmath]
Ja dobijem [dispmath]\frac{-x^3+3x+2}{\left(2x^2\right)\cdot\sqrt{\frac{(x+1)^3}{x}}}[/dispmath]
Ali to kad racionalisem ne mogu da dobijem dobar rezultat...

I treba mi drugi izvod od [dispmath]\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}[/dispmath]
Prvi je [dispmath]\frac{1}{\sqrt{(x-1)\cdot(x+1)^3}}[/dispmath]

Ako te bune izvodi složene funkcije, ovde možeš bez njih, zapiši funkcije kao:
[dispmath]f(x)=(x+1)^\frac{3}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}\\
g(x)=(x-1)^\frac{1}{2}\cdot (x+1)^{-\frac{1}{2}}[/dispmath]
Pa probaj da nađeš te izvode koristeći pravilo za izvod proizvoda i formulu za izvod stepene funkcije.

[dispmath]\sqrt{\frac{\left(x+1\right)^3}{x}}[/dispmath]
Pretpostavljam da si ovo radio na ovaj način:
[dispmath]\left[\sqrt{\frac{\left(x+1\right)^3}{x}}\right]'=\frac{1}{2\sqrt{\frac{\left(x+1\right)^3}{x}}}\cdot\left[\frac{\left(x+1\right)^3}{x}\right]'=\frac{3\left(x+1\right)^2\cdot x-\left(x+1\right)^3}{2x^2\sqrt{\frac{\left(x+1\right)^3}{x}}}=[/dispmath]
E sad, ti si dalje množio ovo u brojiocu (i pri tome napravio grešku, jer bi se dobilo [inlmath]2x^3+3x^2-1[/inlmath], a ne [inlmath]-x^3+3x+2[/inlmath]), ali uopšte nije bilo potrebe da to radiš, postoji elegantniji način, da i brojilac i imenilac podelimo sa [inlmath]\left(x+1\right)^2[/inlmath]:
[dispmath]=\frac{3x-\left(x+1\right)}{2x^2\sqrt{\frac{1}{x\left(x+1\right)}}}=\frac{2x-1}{2x^2}\sqrt{x\left(x+1\right)}[/dispmath]

A za drugi izvod pise da je pozitivan za sve [inlmath]x[/inlmath] iz oblasti definisanosti. Kako ja to napamet da znam cim vidim prvi izvod? Posto oni nisu radili za drugi izvod nista?

Govoriš o funkciji [inlmath]\sqrt{\frac{\left(x+1\right)^3}{x}}[/inlmath]?

Znak drugog izvoda se ponekad može odrediti i bez njegovog nalaženja, na osnovu monotonosti prvog izvoda – ako je prvi izvod rastući na nekom intervalu, onda će drugi izvod na tom intervalu biti pozitivan i obratno. Međutim, u ovom primeru nije iz samog izraza baš očigledno da je prvi izvod rastući na celom domenu (iako, zapravo, jeste).
Moguće je ponekad znak drugog izvoda odrediti i intuitivno, na osnovu nekih drugih elemenata funkcije na nekom intervalu (asimptote, ekstremne vrednosti...) tako što se na osnovu tih elemenata nacrta deo grafika i zaključi kakva mora biti zakrivljenost funkcije na nekom intervalu (konkavnost/konveksnost), a na osnovu zakrivljenosti se zaključi i koji je znak drugog izvoda...

Ja sad sve ovo govorim napamet, jer nemam uvid u taj vaš postupak.

Pri tom, ovde uopšte nije teško izračunati taj drugi izvod i onda odrediti kojeg je znaka.

Drugi izvod te funkcije je:
[dispmath]f''(x)=\frac{3(x+1)}{4x^3\cdot\sqrt{\frac{(x+1)^3}{x}}}[/dispmath]
Kako bi kvadratni koren bio definisan:
[dispmath]\frac{(x+1)^3}{x}>0[/dispmath]
Pošto je [inlmath](x+1)^2\cdot x^2>0[/inlmath] za svako [inlmath]x[/inlmath], onda je i:
[dispmath]\frac{(x+1)^3}{x}\cdot\frac{1}{(x+1)^2\cdot x^2}=\frac{x+1}{x^3}>0[/dispmath]
Kako je [inlmath]\frac{3}{4}>0[/inlmath], [inlmath]\frac{x+1}{x^3}>0[/inlmath] i [inlmath]\frac{1}{\sqrt{\frac{(x+1)^3}{x}}}>0[/inlmath], proizvod ova tri izraza će biti pozitivan za svako [inlmath]x[/inlmath]. Dakle, drugi izvod polazne funkcije je uvek pozitivan.