Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

Neodređeni integral

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

Neodređeni integral

Postod StefanosDrag » Utorak, 04. Maj 2021, 00:41

Ćao svima! Pokušavam da rešim sledeći zadatak:
[dispmath]\int\left(x^2+2x+8\right)e^{2x+2}\,\mathrm dx[/dispmath] Počeo sam tako što sam naveo da je [inlmath]u=x^2+2x+8[/inlmath], odakle je [inlmath]\mathrm du=(2x+2)\,\mathrm dx[/inlmath].
Međutim, imam osećaj da bi takođe trebalo nešto uraditi sa [inlmath]e^{2x+2}\,\mathrm dx[/inlmath], ali nisam siguran šta tačno i kako će mi to pomoći da rešim ovaj zadatak.
 
Postovi: 28
Zahvalio se: 28 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Neodređeni integral

Postod primus » Utorak, 04. Maj 2021, 03:51

Formula parcijalne integracije glasi: [inlmath]\int u\,\mathrm dv=uv-\int v\,\mathrm du[/inlmath]. Kako je [inlmath]u=x^2+2x+8[/inlmath] ostaje da je [inlmath]\mathrm dv=e^{2x+2}\,\mathrm dx[/inlmath], odnosno [inlmath]v=\int e^{2x+2}\,\mathrm dx[/inlmath]. Ovaj zadnji integral rešavaš tako što uvedeš smenu: [inlmath]t=2x+2[/inlmath]. Kad odrediš [inlmath]v[/inlmath] trebalo bi da dobiješ da je [inlmath]\int v\,\mathrm du=\int(x+1)e^{2x+2}\,\mathrm dx[/inlmath], a ovaj integral rešavaš ponovo primenom parcijalne integracije.
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 232
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 278 puta

Re: Neodređeni integral

Postod StefanosDrag » Utorak, 04. Maj 2021, 11:46

Zahvaljujem na odgovoru! Ovde sam pokušao da pratim taj postupak:

Dakle, imamo da je [inlmath]u=x^2+2x+8[/inlmath], [inlmath]\mathrm du=2x+2[/inlmath] i [inlmath]\mathrm dv=e^{2x+2}[/inlmath], [inlmath]v=\frac{1}{2}e^{2x+2}[/inlmath].
Formula parcijalne integracije glasi: [inlmath]\int u\,\mathrm dv=uv-\int v\,\mathrm du[/inlmath].
Onda, [inlmath]\int u\,\mathrm dv=\left(x^2+2x+8\right)\cdot e^{2x+2}-\int\frac{1}{2}e^{2x+2}\cdot(2x+2)[/inlmath].

Sada imamo integral [inlmath]\int(x+1)\cdot e^{2x+2}[/inlmath] koji rešavamo parcijalnom integracijom.
Znamo da je [inlmath]u=\frac{1}{2}e^{2x+2}[/inlmath], [inlmath]\mathrm du=e^{2x+2}[/inlmath], i [inlmath]v=x+1[/inlmath], [inlmath]\mathrm dv=1[/inlmath].
Zatim,
[dispmath]\int v\,\mathrm du=(x+1)\cdot\frac{1}{2}e^{2x+2}-\int\frac{1}{2}e^{2x+2}\\
=\frac{1}{4}e^{2x+2}+\frac{1}{2}e^{2x+2}(x+1)+C.[/dispmath] Tako da je moje rešenje [inlmath]\int u\,\mathrm dv=\left(x^2+2x+8\right)\cdot e^{2x+2}-\frac{1}{4}e^{2x+2}-\frac{1}{2}e^{2x+2}(x+1)+C[/inlmath].
 
Postovi: 28
Zahvalio se: 28 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Neodređeni integral

Postod primus » Sreda, 05. Maj 2021, 04:22

StefanosDrag je napisao:Sada imamo integral [inlmath]\int(x+1)\cdot e^{2x+2}[/inlmath] koji rešavamo parcijalnom integracijom.
Znamo da je [inlmath]u=\frac{1}{2}e^{2x+2}[/inlmath], [inlmath]\mathrm du=e^{2x+2}[/inlmath], i [inlmath]v=x+1[/inlmath], [inlmath]\mathrm dv=1[/inlmath].

Za integral [inlmath]\int(x+1)\cdot e^{2x+2}\,\mathrm dx[/inlmath] uzmi da je [inlmath]u=x+1[/inlmath] i [inlmath]\mathrm dv=e^{2x+2}\,\mathrm dx[/inlmath].
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 232
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 278 puta

Re: Neodređeni integral

Postod Daniel » Utorak, 18. Maj 2021, 01:34

@StefanosDrag
Nikad nemoj zaboraviti da unutar integrala staviš diferencijal. Integral bez diferencijala, jednostavno – ne ide. Dakle:

StefanosDrag je napisao:Dakle, imamo da je [inlmath]u=x^2+2x+8[/inlmath], [inlmath]\mathrm du=2x+2[/inlmath] i [inlmath]\mathrm dv=e^{2x+2}[/inlmath], [inlmath]v=\frac{1}{2}e^{2x+2}[/inlmath].

Treba [inlmath]\mathrm du=(2x+2)\,{\color{red}\mathrm dx}[/inlmath] i [inlmath]\mathrm dv=e^{2x+2}\,{\color{red}\mathrm dx}[/inlmath].

StefanosDrag je napisao:Formula parcijalne integracije glasi: [inlmath]\int u\,\mathrm dv=uv-\int v\,\mathrm du[/inlmath].
Onda, [inlmath]\int u\,\mathrm dv=\left(x^2+2x+8\right)\cdot e^{2x+2}-\int\frac{1}{2}e^{2x+2}\cdot(2x+2)[/inlmath].

Treba [inlmath]\int u\,\mathrm dv={\color{red}\frac{1}{2}}\left(x^2+2x+8\right)\cdot e^{2x+2}-\int\frac{1}{2}e^{2x+2}\cdot(2x+2)\,{\color{red}\mathrm dx}[/inlmath]

StefanosDrag je napisao:Sada imamo integral [inlmath]\int(x+1)\cdot e^{2x+2}[/inlmath] koji rešavamo parcijalnom integracijom.

[inlmath]\int(x+1)\cdot e^{2x+2}\,{\color{red}\mathrm dx}[/inlmath]

StefanosDrag je napisao:Znamo da je [inlmath]u=\frac{1}{2}e^{2x+2}[/inlmath], [inlmath]\mathrm du=e^{2x+2}[/inlmath], i [inlmath]v=x+1[/inlmath], [inlmath]\mathrm dv=1[/inlmath].
Zatim,
[dispmath]\int v\,\mathrm du=(x+1)\cdot\frac{1}{2}e^{2x+2}-\int\frac{1}{2}e^{2x+2}[/dispmath]

Ovde si, zapravo, obrnuo mesta oznakama [inlmath]u[/inlmath] i [inlmath]v[/inlmath], tako da si umesto uobičajenog zapisa formule [inlmath]\int u\,\mathrm dv=uv-\int v\,\mathrm du[/inlmath] koristio zapis [inlmath]\int v\,\mathrm du=uv-\int u\,\mathrm dv[/inlmath]. Jeste malo zbunjujuće ako smo navikli na one prvobitne oznake, ali u principu dođe na isto.
Naravno, i ovde treba [inlmath]\mathrm du=e^{2x+2}\,{\color{red}\mathrm dx}[/inlmath] i [inlmath]\mathrm dv={\color{red}\mathrm dx}[/inlmath].

StefanosDrag je napisao:[dispmath]=\frac{1}{4}e^{2x+2}+\frac{1}{2}e^{2x+2}(x+1)+C.[/dispmath]

Ovde ti treba minus ispred prvog sabirka: [inlmath]{\color{red}-}\frac{1}{4}e^{2x+2}+\frac{1}{2}e^{2x+2}(x+1)+C[/inlmath]

StefanosDrag je napisao:Tako da je moje rešenje [inlmath]\int u\,\mathrm dv=\left(x^2+2x+8\right)\cdot e^{2x+2}-\frac{1}{4}e^{2x+2}-\frac{1}{2}e^{2x+2}(x+1)+C[/inlmath].

Kao što ti ispravih gore, izostavio si [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] ispred prvog sabirka, tako da, zajedno s ovim minusom (koji će preći u plus), treba da bude
[dispmath]\int u\,\mathrm dv={\color{red}\frac{1}{2}}\left(x^2+2x+8\right)\cdot e^{2x+2}{\color{red}+}\frac{1}{4}e^{2x+2}-\frac{1}{2}e^{2x+2}(x+1)+C[/dispmath] To se može još malo srediti – ako ispred zagrade izvučeš [inlmath]\frac{e^{2x+2}}{4}[/inlmath], to će biti
[dispmath]\int u\,\mathrm dv=\frac{e^{2x+2}}{4}\Bigl(2\left(x^2+2x+8\right)+1-2(x+1)\Bigr)+C\\
\enclose{box}{\int u\,\mathrm dv=\frac{e^{2x+2}}{4}\left(2x^2+2x+15\right)+C}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 34 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 21:02 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs