Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

Njutn–Lajbnicova formula

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

Njutn–Lajbnicova formula

Postod Gamma » Petak, 13. Mart 2015, 18:06

U pitanju je izračunavanje površine ispod krive preko određenog integrala.Konkretno zanima me neki dokaz za ovu formulu.Jasna mi je definicija integrala preko površine beskonačno malih pravougaonika.A ovo oko primitive funkcije slabo mi je jasno gledajući geometrijski. Mislim kako ta primitivna funkcija predstavlja površinu ispod krive? Znam da u tome slučaju ta funkcije predstavlja integral od prvobitne funkcije. Ali ta veza između primitivne funkcije i integrala preko površine i nije mi baš najjasnija.
[dispmath]\int\limits_a^bf(x)\mathrm dx=F(b)-F(a)[/dispmath]
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Njutn–Lajbnicova formula

Postod Daniel » Nedelja, 15. Mart 2015, 03:08

Ako posmatraš površinu ispod krive kao skup beskonačno tankih pravougaonika, površina svakog od tih pravougaonika je [inlmath]\mathrm dP\left(x\right)=f\left(x\right)\mathrm dx[/inlmath], jer je [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] njegova visina, a [inlmath]\mathrm dx[/inlmath] njegova širina. Odatle je izvod površine po promenljivoj [inlmath]x[/inlmath] jednak
[dispmath]P'\left(x\right)=\frac{\mathrm dP\left(x\right)}{\mathrm dx}=\frac{f\left(x\right)\cancel{\mathrm dx}}{\cancel{\mathrm dx}}=f\left(x\right)[/dispmath]
što znači da je [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] izvod od [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath], odakle sledi da je [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] primitivna funkcija funkcije [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath].

Primitivna funkcija funkcije [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] takođe će biti i [inlmath]P\left(x\right)+c,\;c=\mbox{const}[/inlmath], jer je [inlmath]\mathrm d\left[P\left(x\right)+c\right]=\mathrm dP\left(x\right)[/inlmath]...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9322
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5173 puta
Pohvaljen: 4959 puta

Re: Njutn–Lajbnicova formula

Postod Gamma » Nedelja, 15. Mart 2015, 12:57

To je odgovor koji sam tražio.
Gamma  OFFLINE
 
Postovi: 1009
Zahvalio se: 183 puta
Pohvaljen: 239 puta

Re: Njutn–Lajbnicova formula

Postod MilosN » Utorak, 09. Maj 2023, 21:55

Skoro sam dosao do odgovora, tako da i meni bude jasno. :shock:
[dispmath]F'(x)=\frac{F(x+\mathrm dx)-F(x)}{\mathrm dx}=f(x)[/dispmath] Integral od [inlmath]a[/inlmath] do [inlmath]b[/inlmath] je suma svih pravougaonika sa stranicama [inlmath]f(x)[/inlmath] i [inlmath]\mathrm dx[/inlmath]. Integralna suma ide od [inlmath]a[/inlmath] do [inlmath]b[/inlmath] sa korakom [inlmath]\mathrm dx[/inlmath] ([inlmath]\mathrm dx\to0[/inlmath]).
[dispmath]\int\limits_a^b\!f(x)\,\mathrm dx=\int\limits_a^b\!\frac{F(x+\mathrm dx)-F(x)}{\cancel{\mathrm dx}}\cancel{\mathrm dx}=\int\limits_a^b\!F(x+\mathrm dx)-F(x)=\\
=\cancel{F(a+\mathrm dx)}-F(a)+F(a+2\cdot\mathrm dx)-\cancel{F(a+\mathrm dx)}+\cdots+\cancel{F(b-\mathrm dx)}-F(b-2\cdot\mathrm dx)+F(b)-\cancel{F(b-\mathrm dx)}=F(b)-F(a)[/dispmath]
MilosN  OFFLINE
 
Postovi: 5
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Njutn–Lajbnicova formula

Postod Daniel » Četvrtak, 11. Maj 2023, 07:19

Zapis je na više mesta pogrešan, ali rezon otprilike jeste taj...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9322
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5173 puta
Pohvaljen: 4959 puta

Re: Njutn–Lajbnicova formula

Postod MilosN » Nedelja, 14. Maj 2023, 19:46

Daniel je napisao:Zapis je na više mesta pogrešan

Na kojim mestima, sa kojim obrazlozenjem?
MilosN  OFFLINE
 
Postovi: 5
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Njutn–Lajbnicova formula

Postod ubavic » Utorak, 16. Maj 2023, 15:46

Moram i ja malo da se umešam u ovu zanimljivu diskusiju. U oba priložena dokaza postoje problemi. Suština svih problema je u sledećem u integralu, oznaka [inlmath]\mathrm dx[/inlmath] ne predstavlja broj. Bez obzira što baratanje ovim beskonačno malim veličinama često nas dovede do dobrog rezultata, pogrešno je to raditi! Lako možemo doći do problema.

Dakle, [inlmath]\mathrm dx[/inlmath] NE POSTOJI kao beskonačno mala veličina!

Baš iz tog razloga je kod tebe svaka jednakost problematična (zapravo svaki izraz je problematičan). Ali čak i kad bismo zažmurili, ponovo bi bili neki srodni problemi (tiču se definicije izvoda i integrala). Dakle, kada govorimo o izvodima i integralima u srednjoj školi i na tehničkim fakultetima, izvod se definiše kao limes odgovarajućeg količnika, a određen integral kao limes Rimanovih suma po svim podelama intervala... U tom kontekstu, ovakav dokaz bi imao više smisla

Neka je [inlmath]f[/inlmath] neprekidna na [inlmath][a,b][/inlmath], i neka [inlmath]x\in (a,b)[/inlmath]. Za funkciju [inlmath]F(x)=\int_a^x f(y)\,\mathrm dy[/inlmath] važi
[dispmath]F'(x)=\lim_{t\rightarrow 0} \frac{F(x+t) - F(t)}{t} = \lim_{t\rightarrow 0} \frac{\int\limits_{x}^{x+t} f(y)\,\mathrm dy}{t} = \lim_{x\le c\le x+t, t\rightarrow 0, } \frac{f(c) t}{t} = f(x)[/dispmath]
gde je [inlmath]c\in[x,x+t][/inlmath] dato na osnovu teoreme o međuvrednosti integrala. Ima u dokazu još mesta za pojašnjenje, ali najbolje je da se otvori neki udžbenik iz analize.



E sad, oznaka [inlmath]dx[/inlmath] ima nekog smisla kao forma ili kao mera (kada stoji u integralu), ali to su sasvim neke druge priče.
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 625
Zahvalio se: 385 puta
Pohvaljen: 644 puta

Re: Njutn–Lajbnicova formula

Postod MilosN » Sreda, 17. Maj 2023, 21:50

Sve u matematickoj analizi vazi samo ako pretpostavimo da vazi jedna od teorema: o supremumu, o neprekidnosti ili Arhimedovo svojstvo. Ako se dobro secam. Ali nista od toga nije moguce dokazati.
MilosN  OFFLINE
 
Postovi: 5
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 4 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 24. Jun 2024, 12:15 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs