Evo sljedećeg:
[dispmath]\int\sin x\ln\left(\cos x+\sqrt{1+\cos^2x}\right)\mathrm dx[/dispmath]
Vjerojatno će se raditi sa supstitucijom, ali mi ništa na pada napamet. Pretpostavljam da ćemo se korjena trebati rješiti na način da [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] pređe ispred integrala. Postoje još neke pretpostavke, ali to ostavljam profesionalcima

Radi se i parcijalnom i supstitucijom:
[dispmath]\int\sin x\ln\left(\cos x+\sqrt{1+\cos^2 x}\right)\mathrm dx=[/dispmath]
[inlmath]u=\ln\left(\cos x+\sqrt{1+\cos^2 x}\right)\\
\mathrm du=\cdots =\frac{-\sin x\cancel{\left(\cos x+\sqrt{1+\cos^2 x}\right)}}{\sqrt{1+\cos^2 x}\cancel{\left(\cos x+\sqrt{1+\cos^2 x}\right)}}\mathrm dx=\frac{-\sin x}{\sqrt{1+\cos^2 x}}\mathrm dx\\
\mathrm dv=\sin x\mathrm dx\\
v=-\cos x[/inlmath]
[dispmath]=-\cos x\ln\left(\cos x+\sqrt{1+\cos^2 x}\right)-\int\cos x\frac{\sin x}{\sqrt{1+\cos^2 x}}\mathrm dx=[/dispmath]
Smena:
[inlmath]\cos x=t\\
-\sin x\mathrm dx=\mathrm dt[/inlmath]
[dispmath]=-\cos x\ln\left(\cos x+\sqrt{1+\cos^2 x}\right)+\int\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\mathrm dt=-\cos x\ln\left(\cos x+\sqrt{1+\cos^2 x}\right)+\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm d\left(t^2\right)}{\sqrt{1+t^2}}=[/dispmath][dispmath]=-\cos x\ln\left(\cos x+\sqrt{1+\cos^2 x}\right)+\cancel{\frac{1}{2}}\frac{\left(1+t^2\right)^\frac{1}{2}}{\cancel{\frac{1}{2}}}+c=[/dispmath][dispmath]=\sqrt{1+\cos^2 x}-\cos x\ln\left(\cos x+\sqrt{1+\cos^2 x}\right)+c[/dispmath]

---

Ostao sam ti dužan i jedan odgovor u vezi s prethodnim zadatkom:

eseper je napisao:Dalje
[dispmath]\int x^3\sin x\mathrm dx[/dispmath]
...
ili možda na način da stavim da je [inlmath]I=\int x\sin x\mathrm dx[/inlmath] pa rješavam dalje?

[inlmath]I=\int x\sin x\mathrm dx[/inlmath] bi imalo smisla da ti je i početni integral glasio isto tako. Međutim, u početnom integralu ti je [inlmath]x[/inlmath] dignuto na [inlmath]3.[/inlmath] stepen, tako da bi uvođenjem [inlmath]I=\int x\sin x\mathrm dx[/inlmath] doveo do sabiranja baba i žaba.

Hvala na iscrpnom rješenju. Što se tiče [inlmath]I[/inlmath], to uopće nisam znao do prije sat vremena kada sam shvatio kada se uopće koristi [inlmath]I[/inlmath]

Sada još jedno čisto teoretsko pitanje. Kako da prepoznam zadatak u kojem treba koristiti samo metodu supstitucije ili samo parcijalnu integraciju ili oboje u kombinaciji kao što je u ovom prethodnom primjeru slučaj? Postoji li neko pravilo ili treba razviti intuiciju za prepoznavanje?

Ne postoji neko tačno određeno pravilo. Ponekad je potrebno isprobavati više načina, dok na kraju ne nabodeš onaj koji „upali“. Naravno, vrlo je korisna i intuicija, jer što si intuiciju bolje razvio, to će ti u proseku biti potrebno manje pokušaja dok ne naiđeš na onaj pravi.

Sljedeći
[dispmath]\int\frac{x\cos(x)}{\sin^3 x}[/dispmath]
Sredio sam tako da bude [dispmath]\int\frac{x\:\mathrm{ctg}(x)}{\sin^2 (x)}[/dispmath]
Ako treba zapisati u takvom obliku, onda iza toga ide parcijalna integracija...

Nije bilo potrebe za tim sređivanjem. Samo primeniš parcijalnu:

[inlmath]u=x\\
\mathrm du=\mathrm dx\\
\mathrm dv=\frac{\cos x}{\sin^3 x}\mathrm dx\\
v=\int\mathrm dv=\int\frac{\cos x}{\sin^3 x}\mathrm dx=\int\frac{\mathrm d\left(\sin x\right)}{\sin^3 x}=-\frac{1}{2\sin^2 x}[/inlmath]

Treba da se dobije rezultat
[dispmath]-\frac{x}{2\sin^2 x}-\frac{\mathrm{ctg}\:x}{2}+c[/dispmath]

Dobio sam identično, hvala.

Još jedna stvar me zanima, evo uzmimo ovaj primjer:
[dispmath]\int\frac{x}{e^{2x}}\mathrm dx[/dispmath]
Zanima me da li je svejedno ako za [inlmath]u[/inlmath] uzmem da je [inlmath]x[/inlmath], a za [inlmath]\mathrm dv[/inlmath] da je [inlmath]\frac{\mathrm dx}{e^{2x}}[/inlmath]. Što ako uzmem obrnuto i postoji li neko posebno pravilo, što se uzima za [inlmath]u[/inlmath], a što za [inlmath]\mathrm dv[/inlmath]? Ili i to moram isprobavati?

Sa'ćemo da vidimo da li je svejedno: Uzmimo da je [inlmath]u=e^{-2x}[/inlmath] i [inlmath]\mathrm dv=x\mathrm dx[/inlmath]

[inlmath]\mathrm du=-2e^{-2x}\mathrm dx\\
v=\frac{x^2}{2}[/inlmath]
[dispmath]\int\frac{x}{e^{2x}}\mathrm dx=\frac{x^2 e^{-2x}}{2}+\int\frac{x^2}{\cancel 2}\cdot\cancel 2e^{-2x}\mathrm dx=\frac{x^2 e^{-2x}}{2}+\int\ x^2 e^{-2x}\mathrm dx[/dispmath]
I, umesto da se oslobodimo faktora [inlmath]x[/inlmath] pod integralom, sada smo još dobili [inlmath]x^2[/inlmath].
Ako bismo i na taj nov integral primenili parcijalnu sa [inlmath]u=e^{-2x}[/inlmath] i [inlmath]\mathrm dv=x^2\mathrm dx[/inlmath], dobili bismo integral u kome figuriše [inlmath]x^3[/inlmath], zatim primenom naredne parcijalne sa [inlmath]u=e^{-2x}[/inlmath] i [inlmath]\mathrm dv=x^3\mathrm dx[/inlmath] figurisalo bi [inlmath]x^4[/inlmath] itd. Svaki put za jedan stepen više.

Zato, kada pod integralom imamo proizvod stepene i eksponencijalne funkcije, za [inlmath]u[/inlmath] uzimamo stepenu funkciju, a za [inlmath]v[/inlmath] eksponencijalnu – a ne obrnuto, kao što je to učinjeno u prethodnom (bezuspešnom ) primeru.

Dakle:
[inlmath]u=x\\
\mathrm du=\mathrm dx\\
\mathrm dv=e^{-2x}\mathrm dx\\
v=-\frac{1}{2}e^{-2x}[/inlmath]
[dispmath]\int\frac{x}{e^{2x}}\mathrm dx=-\frac{x}{2}e^{-2x}+\frac{1}{2}\int e^{-2x}\mathrm dx=-\frac{x}{2}e^{-2x}-\frac{1}{4}\int e^{-2x}\mathrm d\left(-2x\right)=-\frac{x}{2}e^{-2x}-\frac{e^{-2x}}{4}+c[/dispmath]
Da smo, kojim slučajem, imali [inlmath]\int\frac{x^n}{e^{2x}}\mathrm dx[/inlmath], radili bismo parcijalnu [inlmath]n[/inlmath] puta, pri čemu bismo svakom primenom parcijalne dobijali nov integral sa stepenom [inlmath]x[/inlmath] nižim za jedan, dok se na kraju ne oslobodimo stepene funkcije:

[inlmath]u=x^n\\
\mathrm du=nx^{n-1}\mathrm dx\\
\mathrm dv=e^{-2x}\mathrm dx\\
v=-\frac{1}{2}e^{-2x}[/inlmath]
[dispmath]\int\frac{x^n}{e^{2x}}\mathrm dx=-\frac{x^n}{2}e^{-2x}+\frac{n}{2}\int x^{n-1}e^{-2x}\mathrm dx[/dispmath]
pa onda:

[inlmath]u=x^{n-1}\\
\mathrm du=\left(n-1\right)x^{n-2}\mathrm dx\\
\mathrm dv=e^{-2x}\mathrm dx\\
v=-\frac{1}{2}e^{-2x}[/inlmath]

itd.

Dakle, [inlmath]u[/inlmath] je stepena funkcija, [inlmath]v[/inlmath] je eksponencijalna.

Hvala, to sam razumio Evo sljedećeg zadatka:
[dispmath]\int\cos^2 x\mathrm dx[/dispmath]
Ovaj zadatak se može rješiti metodom zamjene, ali se u zadatku traži parcijalnom derivacijom.

Metodom zamjene dobio sam [dispmath]\int\cos^2 x\mathrm dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C[/dispmath]
Kako ovo rješiti parcijalnom integracijom? Pokušavao sam tako da zapišem kao[inlmath]\int\cos x\cos x\mathrm dx[/inlmath], ali ne ide

Ni ja ne vidim način kako ovo uraditi parcijalnom. Ali, ne vidim način ni kako uraditi metodom zamene. Koju si zamenu uveo?

Jedini način koji ja vidim je preko formule za polovinu ugla:
[dispmath]\int\cos^2\! x\:\mathrm dx=\int\frac{1+\cos 2x}{2}\mathrm dx=\frac{1}{2}\int\mathrm dx+\frac{1}{4}\int\cos 2x\:\mathrm d\left(2x\right)=\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\sin 2x+c[/dispmath]