Re: Integracija racionalnih funkcija

od eseper » Sreda, 13. Februar 2013, 01:47

Greškica mi je bila u parcijalnim Svejedno mi nije jasno zašto Alpha izbacuje ovo zaokruženo umisto [inlmath]x-1[/inlmath]

Prikačeni fajlovi

wolfr.PNG (16.78 KiB) Pogledano 1925 puta

Re: Integracija racionalnih funkcija

od Daniel » Sreda, 13. Februar 2013, 02:02

Re: Integracija racionalnih funkcija

od eseper » Sreda, 13. Februar 2013, 02:04

Dobro, sada smo i to riješili. Dakle, Wolfram nije sveznajuć

• +1

  Ovi korisnici su zahvalili autoru Daniel za post:
  eseper

  Reputacija: 4.35%

Re: Integracija racionalnih funkcija

od Daniel » Sreda, 13. Februar 2013, 02:08

Ne kaže se džabe – u se i u svoje kljuse.
To, naravno, isto važi i kad je ovaj forum u pitanju. Za svaku pomoć koju ovde dobijete, sve treba i sami da još jednom proverite.

Re: Integracija racionalnih funkcija

od eseper » Sreda, 13. Februar 2013, 15:18

Zadatak s prethodne stranice. Može li objašnjenje za ovo crveno?

Daniel je napisao:[dispmath]\int\frac{3x-2}{2x^2-3x+4}\mathrm dx=[/dispmath]
Prvo gledamo da brojilac svedemo na izvod imenioca, a izvod imenioca je u ovom slučaju [inlmath]4x-3[/inlmath]:
[dispmath]=\frac{3}{4}\int\frac{4x-\frac{8}{3}}{2x^2-3x+4}\mathrm dx=\frac{3}{4}\int\frac{4x-3}{2x^2-3x+4}\mathrm dx+\frac{3}{4}\int\frac{3-\frac{8}{3}}{2x^2-3x+4}\mathrm dx=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{3}{4}\int\frac{\color{red}\mathrm d\left(2x^2-3x+4\right)}{2x^2-3x+4}+\frac{3}{4}\int\frac{\frac{1}{3}}{2x^2-3x+4}\mathrm dx=\frac{3}{4}\ln\left|2x^2-3x+4\right|+\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm dx}{2x^2-3x+4}[/dispmath]
Sada nam je cilj da ovaj integral u drugom sabirku svedemo na oblik [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{1+x^2}[/inlmath], što predstavlja tablični integral čije je rešenje [inlmath]\mathrm{arctg}\:x+c[/inlmath].

• +2

  Ovi korisnici su zahvalili autoru Milovan za post (ukupno 2):
  eseper, Daniel

  Reputacija: 8.7%

Re: Integracija racionalnih funkcija

od Milovan » Sreda, 13. Februar 2013, 15:27

Uvedi smenu [inlmath]t=2x^2-3x+4[/inlmath] kod tog integrala i samo će ti se kazati.

Re: Integracija racionalnih funkcija

od eseper » Sreda, 13. Februar 2013, 17:30

Hvala.

Ako bi neko mogao napisati cijeli postupak za ovaj zadatak koji mi je vrlo bitan...
[dispmath]\int\frac{3x^2+2}{x^3+2x^2-4x-8}\mathrm dx[/dispmath]

Re: Integracija racionalnih funkcija

od eseper » Četvrtak, 14. Februar 2013, 00:31

Evo još jednog zadatka, ali je krivo riješen (osim ako Wolfram Alpha ne griješi ) Vidi li iko grešku ili više njih?
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{2x^2-5x+7}=\left|\begin{matrix}a=-5\\ b=7\end{matrix}\;c=\frac{3}{4}\right|=[/dispmath]
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\left(x+\frac{-5}{2}\right)^2+7-\frac{25}{4}}=\int\frac{\mathrm dx}{\frac{3}{4}+\left(x+\frac{-5}{2}\right)^2}=[/dispmath]
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\frac{3}{4}\left[1+\frac{4}{3}\left(x+\frac{-5}{2}\right)\right]^2}=\frac{4}{3}\int\frac{\mathrm dx}{1+\left(\frac{x}{\sqrt{\frac{3}{4}}}+\frac{-5}{2\sqrt{\frac{3}{4}}}\right)}=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}}}}\mathrm{arctg}\left(\frac{x}{\frac{\sqrt 3}{2}}+\frac{-5}{\cancel 2\cdot\frac{\sqrt 3}{\cancel 2}}\right)+c=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{4\sqrt 3}{6}\mathrm{arctg}\left(\frac{2x}{\sqrt 3}+\frac{-5}{\sqrt 3}\right)+c[/dispmath]

• +1

  Ovi korisnici su zahvalili autoru Milovan za post:
  Daniel

  Reputacija: 4.35%

Re: Integracija racionalnih funkcija

od Milovan » Četvrtak, 14. Februar 2013, 01:13

• +1

  Ovi korisnici su zahvalili autoru Daniel za post:
  Nedzada

  Reputacija: 4.35%

Re: Integracija racionalnih funkcija

od Daniel » Četvrtak, 14. Februar 2013, 01:45

eseper je napisao:Ako bi neko mogao napisati cijeli postupak za ovaj zadatak koji mi je vrlo bitan...

Nemoj potcenjivati sebe, umeš ti to i sam, uz par instrukcija:
Imenilac rastaviš na sledeći način:
[dispmath]x^3+2x^2-4x-8=x^3-2x^2+4x^2-8x+4x-8=\\
=x^2\left(x-2\right)+4x\left(x-2\right)+4\left(x-2\right)=\left(x-2\right)\left(x^2+4x+4\right)=\left(x-2\right)\left(x+2\right)^2[/dispmath]
Vodi računa oko dvostruke nule, [inlmath]\left(x+2\right)^2[/inlmath]. Pošto ti je to dvostruka nula, tada važi
[dispmath]\frac{3x^2+2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)^2}=\frac{A}{x-2}+\frac{B_1}{x+2}+\frac{B_2}{\left(x+2\right)^2}[/dispmath]
(a i pogledaj opšte uputstvo koje sam napisao ovde)

Rezultat:
[dispmath]\frac{7}{8}\ln\left|x-2\right|+\frac{17}{8}\ln\left|x+2\right|+\frac{7}{2\left(x+2\right)}+c[/dispmath]