Jeste, tačno je, to je vrednost modula. S tim, da izraz [inlmath]\frac{2\sqrt{31}}{31}[/inlmath] predstavlja racionalizovan oblik i njega nije trebalo da diraš. Ovaj oblik koji si posle dobio, [inlmath]\frac{2}{\sqrt{31}}[/inlmath], to je neracionalizovan oblik.
Racionalizacijom se oslobađamo korena u imeniocu, a ne korena u brojiocu.

Da se malo vratim na racionalne... Evo zadatka:
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x^3-2x^2+x}[/dispmath]
Rješenja:

(1) (rješenje asistentice) [dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x^3-2x^2+x}=\ln|t|-\ln|x-1|-\frac{1}{x-1}+C[/dispmath]
(2) (moje rješenje) [dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x^3-2x^2+x}=\ln|t|+\ln|x-1|-\frac{1}{x-1}+C[/dispmath]
Dakle, pitanje je u ovome plusu ili minusu. S obzirom da sam dva puta dobio plus, ili negdje stalno griješim (u tom slučaju mi nije problem napisati cijeli postupak kako tu grešku ne bi ponavljao) ili je ona pogriješila u postupku...

Rešenje asistentice je tačno (naravno, treba da stoji [inlmath]\ln\left|x\right|[/inlmath] umesto [inlmath]\ln\left|t\right|[/inlmath]).

Treba da dobiješ da je[dispmath]\frac{1}{x^3-2x^2+x}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{\left(x-1\right)^2}[/dispmath]Ili, ako hoćeš, napiši svoj potupak pa da nađemo grešku...

Da, [inlmath]\ln|t|[/inlmath] je zapravo [inlmath]\ln|x|[/inlmath]. Zaista ne vidim grešku, stoga je nađi ti. Taj minus se meni pretvori u plus zbog [inlmath]B=-1[/inlmath]. Onda je neka banalnost u pitanju koju sam u međuvremenu od 2. mjeseca zaboravio
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x^3-2x^2+x}=\int\frac{\mathrm dx}{x(x-1)^2}=\int\frac{A}{x}\mathrm dx-\int\frac{B}{x-1}\mathrm dx+\int\frac{C}{(x-1)^2}\mathrm dx[/dispmath]
Parcijala
[dispmath]\frac{1}{x(x-1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2}[/dispmath]
pa sada malo preskočimo do [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath]
[inlmath]A=1\\
B=-1\\
C=1[/inlmath]
[dispmath]=\int\frac{\mathrm dx}{x}+\int\frac{\mathrm dx}{x-1}+\int\frac{\mathrm dx}{(x-1)^2}=[/dispmath]
supstitucija (za drugi i treći član naravno)
[inlmath]t=x-1\\
\mathrm dt=\mathrm dx[/inlmath]
pa imam
[dispmath]=\ln|t|+\int\frac{\mathrm dt}{t}+\int\frac{\mathrm dt}{t^2}=\ln|x|+\ln|x-1|-\frac{1}{x-1}+C[/dispmath]

eseper je napisao:[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x^3-2x^2+x}=\int\frac{\mathrm dx}{x(x-1)^2}=\int\frac{A}{x}\mathrm dx{\color{red}-}\int\frac{B}{x-1}\mathrm dx+\int\frac{C}{(x-1)^2}\mathrm dx[/dispmath]

U ovoj prvoj fazi je uobičajeno da ispred svih sabiraka pretpostavimo plus, pa ako za odgovarajući koeficijent ([inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] ili [inlmath]C[/inlmath]) dobijemo da je negativan, onda ispred tog sabirka, naravno, treba da stoji minus.
Može da se radi i ovako kako si ti napisao (da ispred jednog od sabiraka pretpostavimo minus), mada ne vidim zašto bismo tako... Ali, OK, tada, ako za taj koeficijent dobiješ da je pozitivan, ostaje onaj predznak koji si pretpostavio, u suprotnom se predznak menja. U ovom konkretnom slučaju, s ovim pretpostavljenim minusom ispred drugog sabirka, za [inlmath]B[/inlmath] bi trebalo da se dobije da je [inlmath]1[/inlmath], isto kao i za [inlmath]A[/inlmath] i za [inlmath]C[/inlmath].

E sad:

eseper je napisao:Parcijala
[dispmath]\frac{1}{x(x-1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2}[/dispmath]

Ovde ti je sad odjednom plus ispred drugog sabirka, iako je u prethodnoj formuli (s integralima) na tom mestu stajao minus. Ako si tamo koristio minus, moraš i ovde i u tom slučaju bi dobio [inlmath]B=1[/inlmath]). I obratno, ako ovde koristiš plus, onda plus moraš koristiti i u formuli s integralima i tada bi dobio [inlmath]B=-1[/inlmath].

eseper je napisao:pa sada malo preskočimo do [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath]
[inlmath]A=1\\
B=-1\\
C=1[/inlmath]

Ove vrednosti se, dakle, dobiju onda kada u prvoj formuli ispred sva tri integrala pretpostavimo pluseve.

I, prema tome, ne treba da se dobije

eseper je napisao:[dispmath]=\int\frac{\mathrm dx}{x}{\color{red}+}\int\frac{\mathrm dx}{x-1}+\int\frac{\mathrm dx}{(x-1)^2}=[/dispmath]

već treba da se dobije[dispmath]=\int\frac{\mathrm dx}{x}{\color{red}-}\int\frac{\mathrm dx}{x-1}+\int\frac{\mathrm dx}{\left(x-1\right)^2}=[/dispmath]

Na greškama se uči. Znam za ubuduće Hvala

[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x^4+4x^2+3}[/dispmath]
Ovdje sam naišao na problem... Ovaj integral, dakle, sredim, i dobijem u obliku [dispmath]\int\frac{dx}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+3\right)}[/dispmath]
Parcijalnim razlomcima uredno dobijem da su
[inlmath]A=\frac{1}{2}\\
B=-\frac{1}{2}[/inlmath]
i sada to lijepo vratim, i dobijem
[dispmath]\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm dx}{x^2+1}-\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm dx}{x^2+3}[/dispmath]
ako se ovo ide rješavati supstitucijom postane komplicirano. S obzirom da mi je sve čudno u ovom zadatku, stavljam ga ovdje i tražim pomoć

Pa sve si dobro uradio. I ništa ovo što si dobio nije komplikovano, prvi integral ti je tablični, [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{1+x^2}=\mathrm{arctg}\:x+c[/inlmath], a drugi se lako svodi na taj tablični, u opštem slučaju ovako:
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a^2}\int\frac{\mathrm dx}{1+\left(\frac{x}{a}\right)^2}=\frac{\cancel a}{a^\cancel 2}\int\frac{\mathrm d\left(\frac{x}{a}\right)}{1+\left(\frac{x}{a}\right)^2}=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}+c[/dispmath]
U ovom konkretnom slučaju je, naravno, [inlmath]a=\sqrt 3[/inlmath].

Trebalo bi se sjetiti da nije uvijek samo bit u metodi zamjene i parcijalnoj integraciji, nego i tabličnim integralima Tnx

Može mala pomoć oko sljedećeg zadatka:
[dispmath]\int\frac{x\mathrm dx}{x^4-2x^2-1}[/dispmath]
kada se sredi dobije se [dispmath]\int\frac{x\mathrm dx}{\left(x^2-1\right)^2}[/dispmath]
Pokušao sam, ali čini se da je ovo tip zadatka koji se ne može rastaviti na parcijalne razlomke, pa sam išao ovako:

zamjena:
[inlmath]t=x^2-1\\
\mathrm dt=2x\mathrm dx[/inlmath]

ali i dalje ne dobivam ispravno rješenje koje bi trebalo biti:
[dispmath]\frac{1}{4\sqrt{2}}\ln\left|\frac{x^2-1-\sqrt{2}}{x^2-1+\sqrt{2}}\right|+C[/dispmath]
Pretpostavljam da su oni to nekako sveli na tablični integral, ali ne razumijem zašto kada se može metodom zamjene?