MATEMANIJA

Ovo je djelomično riješeni zadatak. Nazivnik bi trebalo rastaviti na parcijalne razlomke tako da dobijemo [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]. Može li mi netko objasniti kako se to radi? (iz materijala koje iman mi nije jasno).
[dispmath]\int\frac{38x+86}{x^2+7x+12}\mathrm{d}x[/dispmath]

Hoćeš za ovaj konkretan zadatak, ili uopšte?
Uopšte, to se radi tako da, ako u imeniocu imaš polinom [inlmath]n[/inlmath]-tog stepena, treba da ga faktorišeš (što znači da moraš pronaći sve njegove nule kako bi ga mogao napisati u faktorisanom obliku). Polinom bilo kog stepena može se rastaviti na faktore prvog i drugog stepena. (Polinomi drugog stepena se nekad mogu, a nekad ne mogu rastaviti na faktore prvog stepena, zavisno od toga da li su im nule realne ili kompleksne.)
U brojiocu moramo imati polinom manjeg stepena od onog u imeniocu, a ako to nije slučaj, pre primene ove metode moramo izraz svesti na taj oblik, na sledeći način:[dispmath]\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=G\left(x\right)+\frac{R\left(x\right)}{Q\left(x\right)}[/dispmath]gde je [inlmath]G\left(x\right)[/inlmath] količnik polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] i [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath], a [inlmath]R\left(x\right)[/inlmath] njihov ostatak. Pošto je stepen ostatka uvek manji od stepena delioca, u razlomku [inlmath]\frac{R\left(x\right)}{Q\left(x\right)}[/inlmath] je zadovoljeno to da u brojiocu imamo polinom manjeg stepena nego u brojiocu.

I, pošto smo prethodno obezbedili da u brojiocu imamo polinom manjeg stepena od onog u imeniocu, postupak bi bio sledeći:
[dispmath]\frac{P\left(x\right)}{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0}=[/dispmath]faktorišemo polinom u imeniocu[dispmath]=\frac{P\left(x\right)}{\left(x-\alpha_1\right)\left(x-\alpha_2\right)\left(x-\alpha_2\right)^2\cdots\left(x-\alpha_2\right)^k\left(x^2+p_1x+q_1\right)\left(x^2+p_2x+q_2\right)^2\cdots\left(x^2+p_2x+q_2\right)^l}=[/dispmath]rastavimo ovaj razlomak kao zbir više sabiraka, po sledećem pravilu: ako u imeniocu imamo faktor prvog stepena, u brojiocu moramo imati konstantu koju kasnije određujemo; ako u imeniocu imamo faktor drugog stepena, u brojiocu moramo imati polinom prvog stepena s koeficijentima koje takođe kasnije određujemo; ako u imeniocu imamo višestruki faktor, onda moramo formirati više sabiraka, u kojima stepen tog faktora ide od [inlmath]1[/inlmath] pa do onoliko koliki je red tog faktora:[dispmath]=\frac{A}{x-\alpha_1}+[/dispmath][dispmath]+\frac{B_1}{x-\alpha_2}+\frac{B_2}{\left(x-\alpha_2\right)^2}+\cdots+\frac{B_k}{\left(x-\alpha_2\right)^k}+[/dispmath][dispmath]+\frac{Cx+D}{x^2+p_1x+q_1}+[/dispmath][dispmath]+\frac{E_1x+F_1}{x^2+p_2x+q_2}+\frac{E_2x+F_2}{\left(x^2+p_2x+q_2\right)^2}+\cdots+\frac{E_lx+F_l}{\left(x^2+p_2x+q_2\right)^l}[/dispmath]

A za ovaj konkretan zadatak postupak bi bio sledeći:
[dispmath]\int\frac{38x+86}{x^2+7x+12}\mathrm dx[/dispmath]
Pošto su nule polinoma [inlmath]x^2+7x+12[/inlmath] jednake [inlmath]-4[/inlmath] i [inlmath]-3[/inlmath], možemo ga napisati u faktorisanom obliku:
[dispmath]x^2+7x+12=\left(x+4\right)\left(x+3\right)[/dispmath]
pa integral transformišemo:
[dispmath]\int\frac{38x+86}{x^2+7x+12}\mathrm dx=\int\frac{38x+86}{\left(x+4\right)\left(x+3\right)}\mathrm dx=\int\left(\frac{A}{x+4}+\frac{B}{x+3}\right)\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]=\int\frac{A\left(x+3\right)+B\left(x+4\right)}{\left(x+4\right)\left(x+3\right)}\mathrm dx=\int\frac{\left(A+B\right)x+\left(3A+4B\right)}{\left(x+4\right)\left(x+3\right)}\mathrm dx[/dispmath]
Iz ovoga sledi da je
[dispmath]38x+86=\left(A+B\right)x+\left(3A+4B\right)[/dispmath]
što nam daje sistem od dve jednačine s dve nepoznate:

[inlmath]A+B=38\\
3A+4B=86[/inlmath]

Rešavanjem dobijamo

[inlmath]A=66\\
B=-28[/inlmath]

tako da integral postaje

[dispmath]\int\left(\frac{A}{x+4}+\frac{B}{x+3}\right)\mathrm dx=\int\left(\frac{66}{x+4}-\frac{28}{x+3}\right)\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]=66\int\frac{\mathrm dx}{x+4}-28\int\frac{\mathrm dx}{x+3}=66\ln\left|x+4\right|-28\ln\left|x+3\right|+c[/dispmath]

Razumio sam, zahvaljujem!

Evo može li rastav na parcijalne razlomke sljedećeg integrala:
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x^2+5x}[/dispmath]

Isti je princip kao u prethodnom primeru:
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x^2+5x}=\int\frac{\mathrm dx}{x\left(x+5\right)}=\int\left(\frac{A}{x}+\frac{B}{x+5}\right)\mathrm dx=\int\frac{A\left(x+5\right)+Bx}{x\left(x+5\right)}\mathrm dx=\int\frac{\left(A+B\right)x+5A}{x\left(x+5\right)}\mathrm dx[/dispmath]
Odavde sledi da je
[dispmath]\left(A+B\right)x+5A=1[/dispmath]
pa dobijamo sistem jednačina:

[inlmath]A+B=0\\
5A=1[/inlmath]

čija su rešenja

[inlmath]A=\frac{1}{5}\\
B=-\frac{1}{5}[/inlmath]

pa integral postaje

[dispmath]\int\left(\frac{A}{x}+\frac{B}{x+5}\right)\mathrm dx=\int\left[\frac{1}{5x}-\frac{1}{5\left(x+5\right)}\right]\mathrm dx=\frac{1}{5}\int\frac{\mathrm dx}{x}-\frac{1}{5}\int\frac{\mathrm dx}{x+5}=[/dispmath][dispmath]=\frac{1}{5}\ln\left|x\right|-\frac{1}{5}\ln\left|x+5\right|+c=\frac{1}{5}\ln\left|\frac{x}{x+5}\right|+c[/dispmath]

Može li neko riješiti ovaj integral i pritom što je više moguće objasniti postupke.
[dispmath]\int\frac{x+1}{x^3+x^2-2x}\mathrm dx[/dispmath]

Potpuno je isti princip rešavanja kao i u prethodnim zadacima, tako da ne bi trebalo da ti ovo pravi problem, al' OK, evo detaljnog postupka i za ovaj integral:
[dispmath]\int\frac{x+1}{x^3+x^2-2x}\mathrm dx=\int\frac{x+1}{x\left(x^2+x-2\right)}\mathrm dx=\int\frac{x+1}{x\left(x+2\right)\left(x-1\right)}\mathrm dx=\int\left(\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x-1}\right)\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]=\int\frac{A\left(x+2\right)\left(x-1\right)+Bx\left(x-1\right)+Cx\left(x+2\right)}{x\left(x+2\right)\left(x-1\right)}=\int\frac{Ax^2+Ax-2A+Bx^2-Bx+Cx^2+2Cx}{x\left(x+2\right)\left(x-1\right)}=[/dispmath][dispmath]=\int\frac{\left(A+B+C\right)x^2+\left(A-B+2C\right)x-2A}{x\left(x+2\right)\left(x-1\right)}[/dispmath]
Odavde dobijamo da je

[inlmath]x+1=\left(A+B+C\right)x^2+\left(A-B+2C\right)x-2A[/inlmath]

pa iz te jednakosti dobijamo sistem od tri jednačine s tri nepoznate:

[inlmath]A+B+C=0\\
A-B+2C=1\\
-2A=1[/inlmath]

Rešenja sistema su

[inlmath]A=-\frac{1}{2}\\
B=-\frac{1}{6}\\
C=\frac{2}{3}[/inlmath]

pa će integral biti
[dispmath]\int\left(\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x-1}\right)\mathrm dx=\int\left(-\frac{1}{2x}-\frac{1}{6\left(x+2\right)}+\frac{2}{3\left(x-1\right)}\right)\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]=-\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm dx}{x}-\frac{1}{6}\int\frac{\mathrm dx}{x+2}+\frac{2}{3}\int\frac{\mathrm dx}{x-1}=-\frac{1}{2}\ln\left|x\right|-\frac{1}{6}\ln\left|x+2\right|+\frac{2}{3}\ln\left|x-1\right|+c[/dispmath]

Hvala. Poklapa se sve i ovi tipovi nisu problem, ali sljedeći tip mi nije dok kraja jasan, tj. jesu nekoliko početnih koraka, pa ako ga ti ili neko drugi može riješiti i objasniti
[dispmath]\int\frac{3x-2}{2x^2-3x+4}\mathrm dx[/dispmath]

Ovaj ti je još lakši od prethodnog, jer si u prethodnom imao u imeniocu polinom 3. stepena, a ovde imaš polinom 2. stepena. Možeš li napisati šta te konkretno buni u ovom zadatku?

Kako kada nazivnik nema nultočaka i ne možemo ga zapisati u drukčijem obliku. Ili se varam?

Da, da, u pravu si... Sorry, promaklo mi je da ovde polinom u imeniocu nema nula...

Pisao sam ti o takvom slučaju u onom postu u kom sam razmatrao sve moguće slučajeve, ali nije problem, uradiću ti ceo postupak... Biće uskoro...

Dugujem ti još jedno izvinjenje, nisam ti napisao opšti postupak za rešavanje ovakvih integrala, već sam ti samo napisao postupak kako u opštem slučaju integrala s polinomima doći do ovakvog oblika integrala kakvog imaš u ovom zadatku.

A postupak za rešavanje ovog integrala bi izgledao ovako:
[dispmath]\int\frac{3x-2}{2x^2-3x+4}\mathrm dx=[/dispmath]
Prvo gledamo da brojilac svedemo na izvod imenioca, a izvod imenioca je u ovom slučaju [inlmath]4x-3[/inlmath]:
[dispmath]=\frac{3}{4}\int\frac{4x-\frac{8}{3}}{2x^2-3x+4}\mathrm dx=\frac{3}{4}\int\frac{4x-3}{2x^2-3x+4}\mathrm dx+\frac{3}{4}\int\frac{3-\frac{8}{3}}{2x^2-3x+4}\mathrm dx=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{3}{4}\int\frac{\mathrm d\left(2x^2-3x+4\right)}{2x^2-3x+4}+\frac{3}{4}\int\frac{\frac{1}{3}}{2x^2-3x+4}\mathrm dx=\frac{3}{4}\ln\left|2x^2-3x+4\right|+\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm dx}{2x^2-3x+4}[/dispmath]
Sada nam je cilj da ovaj integral u drugom sabirku svedemo na oblik [inlmath]\int\frac{\mathrm d\alpha}{1+\alpha^2}[/inlmath], što predstavlja tablični integral čije je rešenje [inlmath]\mathrm{arctg}\:\alpha+c[/inlmath].
[dispmath]\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm dx}{2x^2-3x+4}=\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm dx}{\left(\sqrt 2 x-\frac{3}{2\sqrt 2}\right)^2-\left(\frac{3}{2\sqrt 2}\right)^2+4}=\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm dx}{\left(\sqrt 2 x-\frac{3}{2\sqrt 2}\right)^2-\frac{9}{8}+4}=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm dx}{\left(\sqrt 2 x-\frac{3}{2\sqrt 2}\right)^2+\frac{23}{8}}=\frac{8}{23}\cdot\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm dx}{1+\left(\sqrt{\frac{8}{23}}\sqrt 2 x-\sqrt{\frac{8}{23}}\frac{3}{2\sqrt 2}\right)^2}=\frac{2}{23}\int\frac{\mathrm dx}{1+\left(\frac{4}{\sqrt{23}}x-\frac{3}{\sqrt{23}}\right)^2}=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{\sqrt{23}}{4}\cdot\frac{2}{23}\int\frac{\mathrm d\left(\frac{4}{\sqrt{23}}x-\frac{3}{\sqrt{23}}\right)}{1+\left(\frac{4}{\sqrt{23}}x-\frac{3}{\sqrt{23}}\right)^2}=\frac{\sqrt{23}}{46}\mathrm{arctg}\left(\frac{4}{\sqrt{23}}x-\frac{3}{\sqrt{23}}\right)+c=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{\sqrt{23}}{46}\mathrm{arctg}\left(\frac{4\sqrt{23}}{23}x-\frac{3\sqrt{23}}{23}\right)+c=\frac{\sqrt{23}}{46}\mathrm{arctg}\frac{\sqrt{23}\left(4x-3\right)}{23}+c[/dispmath]
Traženi integral ćemo dobiti kad saberemo prvi sabirak koji smo ranije dobili i ovaj, drugi sabirak:
[dispmath]\frac{3}{4}\ln\left|2x^2-3x+4\right|+\frac{\sqrt{23}}{46}\mathrm{arctg}\frac{\sqrt{23}\left(4x-3\right)}{23}+c[/dispmath]

A odakle u drugom redu [inlmath]\frac{3}{4}[/inlmath] ispred integrala?

Ako misliš na ovaj korak:
[dispmath]\int\frac{3x-2}{2x^2-3x+4}\mathrm dx=\frac{3}{4}\int\frac{4x-\frac{8}{3}}{2x^2-3x+4}\mathrm dx[/dispmath]
[inlmath]\frac{3}{4}[/inlmath] smo izvukli ispred integrala kako bismo u brojiocu, uz [inlmath]x[/inlmath] dobili koeficijent [inlmath]4[/inlmath] umesto dotadašnjeg koeficijenta [inlmath]3[/inlmath].

Ili, još postupnije:
[dispmath]\int\frac{3x-2}{2x^2-3x+4}\mathrm dx=\int\frac{\frac{3}{4}\left(4x-\frac{8}{3}\right)}{2x^2-3x+4}\mathrm dx=\frac{3}{4}\int\frac{4x-\frac{8}{3}}{2x^2-3x+4}\mathrm dx[/dispmath]

Na to sam mislio. Odlično

[dispmath]\int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}\mathrm dx[/dispmath]
Rješenje mi je:
[dispmath]-\frac{3}{2}\ln|x|+\frac{11}{6}\ln|x+2|-\frac{1}{3}\ln|x-1|+C[/dispmath]
Valja ili sam opet pogriješio negdje? Wolfram Alpha ne izbacuje baš ovako...

Wolfram je u pravu (zar si i sumnjao drugačije? )

Ako hoćeš da tražimo grešku, davaj postupak. Ovako mogu samo da kažem da rešenje ne valja i ništa više.

Zadatak je vrlo sličan ovom (imenioci su im čak potpuno identični, razlikuju se samo brojioci), pa ako si taj zadatak savladao, onda sigurno umeš i ovaj da uradiš kako treba.

Ali kada ubacim i taj zadatak u Wolfram, opet izbaci drukčije rješenje od onog što si ti dobio. Sad ne znam gdje je problem xD Greška jedino može biti u parcijalnim razlomcima...

Za taj zadatak (govorim o onom zadatku na prethodnoj strani) ja sam dobio rešenje
[dispmath]-\frac{1}{2}\ln\left|x\right|-\frac{1}{6}\ln\left|x+2\right|+\frac{2}{3}\ln\left|x-1\right|+c[/dispmath]
a Wolfram daje rešenje
[dispmath]\frac{1}{6}\left[4\ln\left(1-x\right)-3\ln\left(x\right)-\ln\left(x+2\right)\right]+\mathrm{constant}[/dispmath]
što je za mene veliko razočaranje u Wolfram, budući da pravi očiglednu grešku pretvarajući apsolutne vrednosti u obične (male) zagrade. Ali, ako to zanemarimo, ova dva rešenja su potpuno identična.

Greškica mi je bila u parcijalnim Svejedno mi nije jasno zašto Alpha izbacuje ovo zaokruženo umisto [inlmath]x-1[/inlmath]

Pa kad bi umesto oblih zagrada prikazivao apsolutne vrednosti, kao što bi i bilo pravilno da prikazuje, tada bi [inlmath]\left|1-x\right|[/inlmath] bilo isto što i [inlmath]\left|x-1\right|[/inlmath]...

Sad sam o tom njegovom bagu pisao ovde...

Dobro, sada smo i to riješili. Dakle, Wolfram nije sveznajuć

Ne kaže se džabe – u se i u svoje kljuse.
To, naravno, isto važi i kad je ovaj forum u pitanju. Za svaku pomoć koju ovde dobijete, sve treba i sami da još jednom proverite.

Zadatak s prethodne stranice. Može li objašnjenje za ovo crveno?

Daniel je napisao:[dispmath]\int\frac{3x-2}{2x^2-3x+4}\mathrm dx=[/dispmath]
Prvo gledamo da brojilac svedemo na izvod imenioca, a izvod imenioca je u ovom slučaju [inlmath]4x-3[/inlmath]:
[dispmath]=\frac{3}{4}\int\frac{4x-\frac{8}{3}}{2x^2-3x+4}\mathrm dx=\frac{3}{4}\int\frac{4x-3}{2x^2-3x+4}\mathrm dx+\frac{3}{4}\int\frac{3-\frac{8}{3}}{2x^2-3x+4}\mathrm dx=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{3}{4}\int\frac{\color{red}\mathrm d\left(2x^2-3x+4\right)}{2x^2-3x+4}+\frac{3}{4}\int\frac{\frac{1}{3}}{2x^2-3x+4}\mathrm dx=\frac{3}{4}\ln\left|2x^2-3x+4\right|+\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm dx}{2x^2-3x+4}[/dispmath]
Sada nam je cilj da ovaj integral u drugom sabirku svedemo na oblik [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{1+x^2}[/inlmath], što predstavlja tablični integral čije je rešenje [inlmath]\mathrm{arctg}\:x+c[/inlmath].

Uvedi smenu [inlmath]t=2x^2-3x+4[/inlmath] kod tog integrala i samo će ti se kazati.

Hvala.

Ako bi neko mogao napisati cijeli postupak za ovaj zadatak koji mi je vrlo bitan...
[dispmath]\int\frac{3x^2+2}{x^3+2x^2-4x-8}\mathrm dx[/dispmath]

Evo još jednog zadatka, ali je krivo riješen (osim ako Wolfram Alpha ne griješi ) Vidi li iko grešku ili više njih?
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{2x^2-5x+7}=\left|\begin{matrix}a=-5\\ b=7\end{matrix}\;c=\frac{3}{4}\right|=[/dispmath]
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\left(x+\frac{-5}{2}\right)^2+7-\frac{25}{4}}=\int\frac{\mathrm dx}{\frac{3}{4}+\left(x+\frac{-5}{2}\right)^2}=[/dispmath]
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\frac{3}{4}\left[1+\frac{4}{3}\left(x+\frac{-5}{2}\right)\right]^2}=\frac{4}{3}\int\frac{\mathrm dx}{1+\left(\frac{x}{\sqrt{\frac{3}{4}}}+\frac{-5}{2\sqrt{\frac{3}{4}}}\right)}=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}}}}\mathrm{arctg}\left(\frac{x}{\frac{\sqrt 3}{2}}+\frac{-5}{\cancel 2\cdot\frac{\sqrt 3}{\cancel 2}}\right)+c=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{4\sqrt 3}{6}\mathrm{arctg}\left(\frac{2x}{\sqrt 3}+\frac{-5}{\sqrt 3}\right)+c[/dispmath]

Već u prvom izrazu iz drugog reda. Uporedi imenilac razlomka kod polaznog integrala i pomenutog, i obrati pažnju na koeficijent uz kvadratni član.

eseper je napisao:Ako bi neko mogao napisati cijeli postupak za ovaj zadatak koji mi je vrlo bitan...

Nemoj potcenjivati sebe, umeš ti to i sam, uz par instrukcija:
Imenilac rastaviš na sledeći način:
[dispmath]x^3+2x^2-4x-8=x^3-2x^2+4x^2-8x+4x-8=\\
=x^2\left(x-2\right)+4x\left(x-2\right)+4\left(x-2\right)=\left(x-2\right)\left(x^2+4x+4\right)=\left(x-2\right)\left(x+2\right)^2[/dispmath]
Vodi računa oko dvostruke nule, [inlmath]\left(x+2\right)^2[/inlmath]. Pošto ti je to dvostruka nula, tada važi
[dispmath]\frac{3x^2+2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)^2}=\frac{A}{x-2}+\frac{B_1}{x+2}+\frac{B_2}{\left(x+2\right)^2}[/dispmath]
(a i pogledaj opšte uputstvo koje sam napisao ovde)

Rezultat:
[dispmath]\frac{7}{8}\ln\left|x-2\right|+\frac{17}{8}\ln\left|x+2\right|+\frac{7}{2\left(x+2\right)}+c[/dispmath]

Mislio sam da se drukčije rješava zbog nazivnika. Ali čim su u igri parcijalni razlomci, neće biti problema, uz ovu tvoju instrukciju. Sad mi još ostaje razjasniti one s [inlmath]\mathrm{arctg}[/inlmath] i onda sam savladao integrale. Bez parcijalne integracije

A što se tiče onog integrala za koji ti je Milovan već odgovorio gde ti je greška, podsetio bih te da sam ti već uradio jedan zadatak u kome se, kao drugi sabirak, pojavljuje integral vrlo, vrlo sličan ovome, pa pogledaj postupak koji sam tamo primenio.
Taj deo zadatka se nalazi u ovom postu, ispod rečenice koja glasi

Daniel je napisao:Sada nam je cilj da ovaj integral u drugom sabirku svedemo na oblik [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{1+x^2}[/inlmath], što predstavlja tablični integral čije je rešenje [inlmath]\mathrm{arctg}\:x+c[/inlmath].

Za zadatak na prethodnoj strancici, za koje si mi dao uputstvo, dobio sam tri jednadžbe. Ako nešto nije krivo, to je ovako:
[dispmath]A+B=3\\
4A+C=0\\
4A-4B-2C=2[/dispmath]
Kako sada dobiti [inlmath]A,\;B,\;C[/inlmath]?

Dobre su ti jednačine. E sad, taj sistem od tri jednačine s tri nepoznate možeš rešiti na nekoliko načina. Možeš Gausovom metodom eliminacije, možeš Kramerovim formulama (o oba ta postupka pisano je na više mesta u rubrici Linearna algebra), a možeš rešiti i bez poznavanja ovih postupaka, „ručno“, tako što ćeš iz prve jednačine [inlmath]B[/inlmath] izraziti preko [inlmath]A[/inlmath] kao [inlmath]B=3-A[/inlmath], iz druge [inlmath]C[/inlmath] izraziti preko [inlmath]A[/inlmath] kao [inlmath]C=-4A[/inlmath], pa uvesti zamenu za [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] u treću jednačinu, tako da dobiješ [inlmath]4A-4\left(3-A\right)-2\cdot\left(-4A\right)=2[/inlmath]

Kad odatle odrediš [inlmath]A[/inlmath], lako ćeš odrediti i [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath].

Dobio sam sve isto kao kod tebe, jedino mi je [dispmath]C=-\frac{7}{2}[/dispmath]
To ću sada još jednom provjeriti i zanima me još jedna stvar: u tvom rješenju, zadnji član. Zbog čega je u nazivniku [inlmath]2[/inlmath] ispred zagrade. Zar ne bi trebalo biti [inlmath](x+2)^2[/inlmath]? Odnosno ili si samo zaboravio eksponent?

Dobro ti je rešenje za [inlmath]C[/inlmath].

Ne, ne treba da bude [inlmath]\left(x+2\right)^2[/inlmath]. Seti se tabličnog integrala [inlmath]\int x^n\mathrm dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c[/inlmath]

Prema tome,
[dispmath]\int\frac{C}{\left(x+2\right)^2}\mathrm dx=C\int\left(x+2\right)^{-2}\mathrm dx=C\frac{\left(x+2\right)^{-2+1}}{-2+1}+c=C\frac{\left(x+2\right)^{-1}}{-1}+c=-\frac{C}{x+2}+c[/dispmath]

Tako je. Skroz sam i zaboravio na tablični integral

Dalje, imam pitanje vezano uz onaj zadatak s arkustangensom.

Ovde https://docs.google.com/file/d/0B1y_oFB ... sp=sharing , treće po redu, je ono neko univerzalno pravilo koje se može koristiti. Ali, što se dešava ako je uz kvadratni član neki broj, npr [inlmath]3[/inlmath]? Onda u nastavku, koliko sam shvatio, neće biti samo [inlmath]x[/inlmath], već korijen tog broja koji je ispred kvadratnog člana? Ako me razumiješ.

Pokušao sam to dokučiti po zadatku s druge stranice ove teme, pa se nadam da je tako...

eseper je napisao:Ovde https://docs.google.com/file/d/0B1y_oFB ... sp=sharing , treće po redu, je ono neko univerzalno pravilo koje se može koristiti. Ali, što se dešava ako je uz kvadratni član neki broj, npr [inlmath]3[/inlmath]? Onda u nastavku, koliko sam shvatio, neće biti samo [inlmath]x[/inlmath], već korijen tog broja koji je ispred kvadratnog člana? Ako me razumiješ.

Da, razumem. Možeš raditi na onaj način koji sam ti pokazao, a možeš ga i svesti na to pravilo opisano u trećem redu tako što ćeš taj broj uz kvadratni član izvaditi ispred integrala i ceo imenilac podeliti tim brojem. Konkretno, za ovaj tvoj zadatak, to bi izgledalo ovako:
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{2x^2-5x+7}=\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm dx}{x^2-\frac{5}{2}x+\frac{7}{2}}=\cdots[/dispmath]

Što ako imam ovakve jednadžbe:
[dispmath]A+B+C=0\\
4A-2B=1\\
3A-3B-C=0[/dispmath]
Prije smo imali dvije jednadžbe sa dva člana, pa je tako bilo lako naći točke, ali sada kada imamo dvije sa tri člana?

Pa, komplikovanije jeste. Možeš iz druge da izraziš [inlmath]B[/inlmath] preko [inlmath]A[/inlmath] (ili obratno) pa to onda zameniš u preostale dve i time svedeš na sistem od dve jednačine s dve nepoznate...
A možeš, kažem ti, i jednom od one dve metode koje sam ti spominjao šest postova ranije (Gausova eliminacija preko matrice sistema ili Kramerove formule)...

Kada iz druge izrazim npr. [inlmath]A[/inlmath] i to uvrstim u prvu i treću, dobijem
[dispmath]\frac{3}{2}B+C=-\frac{1}{4}\\
-\frac{3}{2}B-C=-\frac{3}{4}[/dispmath]
Dakle tako očito ne može? Matrice još nismo učili, kao ni Kramerove formule. Onda izgleda preostaje ništa.

evo integrala da možda nisa nešto falio:
[dispmath]\int\frac{x+2}{x^3+3x^2-x-3}\mathrm dx[/dispmath]
Kad se nazivnik sredi to je [inlmath](x-1)(x+1)(x+3)[/inlmath]

eseper je napisao:Onda izgleda preostaje ništa.

Što si ti, pretpostavljam, jedva dočekao, zar ne?
Da, ovakav sistem nema rešenja.

Pogrešio si u drugoj jednačini, treba [inlmath]4A+2B=1[/inlmath].

Neverovatno koja slučajnost da ovom greškom dobiješ baš sistem bez rešenja...

Wow, vidi stvarno Sad će biti rješenja, pa javim što sam dobio na kraju

E pa sad mora da Wolfram griješi, a ne ja:

Dobio
[dispmath]A=\frac{1}{8}\\
B=\frac{1}{4}\\
C=-\frac {3}{8}[/dispmath]
i konačno
[dispmath]\frac{1}{8}\ln|x-1|+\frac{1}{4}\ln|x+1|-\frac{3}{8}\ln|x+3|[/dispmath]

Sorry, promaklo mi je da imaš grešku i u trećoj jednačini. Treba [inlmath]3A-3B-C=2[/inlmath].
Al' nema veze, bar si se malo trenirao...

O da... pa na kojim ja stvarima griješim

Evo onaj integral s prethodne stranice, koji se ne može rastaviti na parcijalne razlomke.
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{2x^2-5x+7}=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm dx}{x^2-\frac{5}{2}x+\frac{7}{2}}=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm dx}{\left(x+\frac{\frac{-5}{2}}{2}\right)^2+\frac{7}{2}-\frac{\frac{25}{4}}{4}}=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm dx}{\frac{31}{16}+\left(x+\frac{\frac{-5}{2}}{2}\right)^2}=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm dx}{\frac{31}{16}\left[1+\frac{31}{16}\left(x+\frac{\frac{-5}{2}}{2}\right)^2\right]}=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{1}{2}\frac{1}{\frac{31}{16}}\int\frac{\mathrm dx}{1+\left(\frac{x}{\frac{\sqrt{31}}{4}}+\frac{\frac{-5}{2}}{2\frac{\sqrt{31}}{4}}\right)^2}=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{1}{4}\frac{\sqrt{31}}{4}\mathrm{arctg}\dots[/dispmath]
Stvarno mi se nije dalo pisati ovo do kraja, a i [inlmath]\mathrm{arctg}[/inlmath] mi je dobar. Problem je što mi točno ne ispada izraz prije [inlmath]\mathrm{arctg}[/inlmath] koji bi trebao biti [inlmath]\frac{2}{\sqrt{31}}[/inlmath]. Rješavao sam po onom načinu s papira...

U trećem redu odozdo si unutar uglaste zagrade napisao [inlmath]\frac{31}{16}[/inlmath] umesto [inlmath]\frac{16}{31}[/inlmath], ali pretpostavljam da je to samo greška u kucanju Latex-a, jer ti je ta greška već u sledećem koraku ispravljena...

U poslednjem koraku, da bi mogao da integrališ, moraš i veličinu pod diferencijalom svesti na vrednost takvu da ovo postane tablični integral. Znači, treba da bude oblika
[dispmath]\mathrm d\left(\frac{x}{\frac{\sqrt{31}}{4}}+\frac{\frac{-5}{2}}{2\frac{\sqrt{31}}{4}}\right)[/dispmath]
a da bi ga sveo na takav oblik, moraš ceo integral pomnožiti nekom konstantom...

I ove dvojne razlomke sređuj odmah čim ti se pojave, nemoj ih ovako provlačiti kroz ceo postupak.

Daniel je napisao:U poslednjem koraku, da bi mogao da integrališ, moraš i veličinu pod diferencijalom svesti na vrednost takvu da ovo postane tablični integral.

Sad videh da si ovo, zapravo, i uradio... Ali si baš u tom koraku napravio grešku...

Možeš li me ispraviti? Pošto meni stalno ispada isto (krivo nešto radim... :/ ). Zanima me samo taj dio prije arkus tangensa, jer ovo dalje mi je točno.

Edit: Dobio sam izraz [inlmath]\frac{2\sqrt{31}}{31}[/inlmath] i kada se to racionalizira sa [inlmath]\sqrt{31}[/inlmath] dobio sam [inlmath]\frac{2}{\sqrt{31}}[/inlmath]. Ako je točno

Jeste, tačno je, to je vrednost modula. S tim, da izraz [inlmath]\frac{2\sqrt{31}}{31}[/inlmath] predstavlja racionalizovan oblik i njega nije trebalo da diraš. Ovaj oblik koji si posle dobio, [inlmath]\frac{2}{\sqrt{31}}[/inlmath], to je neracionalizovan oblik.
Racionalizacijom se oslobađamo korena u imeniocu, a ne korena u brojiocu.

Da se malo vratim na racionalne... Evo zadatka:
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x^3-2x^2+x}[/dispmath]
Rješenja:

(1) (rješenje asistentice) [dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x^3-2x^2+x}=\ln|t|-\ln|x-1|-\frac{1}{x-1}+C[/dispmath]
(2) (moje rješenje) [dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x^3-2x^2+x}=\ln|t|+\ln|x-1|-\frac{1}{x-1}+C[/dispmath]
Dakle, pitanje je u ovome plusu ili minusu. S obzirom da sam dva puta dobio plus, ili negdje stalno griješim (u tom slučaju mi nije problem napisati cijeli postupak kako tu grešku ne bi ponavljao) ili je ona pogriješila u postupku...

Rešenje asistentice je tačno (naravno, treba da stoji [inlmath]\ln\left|x\right|[/inlmath] umesto [inlmath]\ln\left|t\right|[/inlmath]).

Treba da dobiješ da je[dispmath]\frac{1}{x^3-2x^2+x}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{\left(x-1\right)^2}[/dispmath]Ili, ako hoćeš, napiši svoj potupak pa da nađemo grešku...

Da, [inlmath]\ln|t|[/inlmath] je zapravo [inlmath]\ln|x|[/inlmath]. Zaista ne vidim grešku, stoga je nađi ti. Taj minus se meni pretvori u plus zbog [inlmath]B=-1[/inlmath]. Onda je neka banalnost u pitanju koju sam u međuvremenu od 2. mjeseca zaboravio
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x^3-2x^2+x}=\int\frac{\mathrm dx}{x(x-1)^2}=\int\frac{A}{x}\mathrm dx-\int\frac{B}{x-1}\mathrm dx+\int\frac{C}{(x-1)^2}\mathrm dx[/dispmath]
Parcijala
[dispmath]\frac{1}{x(x-1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2}[/dispmath]
pa sada malo preskočimo do [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath]
[inlmath]A=1\\
B=-1\\
C=1[/inlmath]
[dispmath]=\int\frac{\mathrm dx}{x}+\int\frac{\mathrm dx}{x-1}+\int\frac{\mathrm dx}{(x-1)^2}=[/dispmath]
supstitucija (za drugi i treći član naravno)
[inlmath]t=x-1\\
\mathrm dt=\mathrm dx[/inlmath]
pa imam
[dispmath]=\ln|t|+\int\frac{\mathrm dt}{t}+\int\frac{\mathrm dt}{t^2}=\ln|x|+\ln|x-1|-\frac{1}{x-1}+C[/dispmath]

eseper je napisao:[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x^3-2x^2+x}=\int\frac{\mathrm dx}{x(x-1)^2}=\int\frac{A}{x}\mathrm dx{\color{red}-}\int\frac{B}{x-1}\mathrm dx+\int\frac{C}{(x-1)^2}\mathrm dx[/dispmath]

U ovoj prvoj fazi je uobičajeno da ispred svih sabiraka pretpostavimo plus, pa ako za odgovarajući koeficijent ([inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] ili [inlmath]C[/inlmath]) dobijemo da je negativan, onda ispred tog sabirka, naravno, treba da stoji minus.
Može da se radi i ovako kako si ti napisao (da ispred jednog od sabiraka pretpostavimo minus), mada ne vidim zašto bismo tako... Ali, OK, tada, ako za taj koeficijent dobiješ da je pozitivan, ostaje onaj predznak koji si pretpostavio, u suprotnom se predznak menja. U ovom konkretnom slučaju, s ovim pretpostavljenim minusom ispred drugog sabirka, za [inlmath]B[/inlmath] bi trebalo da se dobije da je [inlmath]1[/inlmath], isto kao i za [inlmath]A[/inlmath] i za [inlmath]C[/inlmath].

E sad:

eseper je napisao:Parcijala
[dispmath]\frac{1}{x(x-1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2}[/dispmath]

Ovde ti je sad odjednom plus ispred drugog sabirka, iako je u prethodnoj formuli (s integralima) na tom mestu stajao minus. Ako si tamo koristio minus, moraš i ovde i u tom slučaju bi dobio [inlmath]B=1[/inlmath]). I obratno, ako ovde koristiš plus, onda plus moraš koristiti i u formuli s integralima i tada bi dobio [inlmath]B=-1[/inlmath].

eseper je napisao:pa sada malo preskočimo do [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath]
[inlmath]A=1\\
B=-1\\
C=1[/inlmath]

Ove vrednosti se, dakle, dobiju onda kada u prvoj formuli ispred sva tri integrala pretpostavimo pluseve.

I, prema tome, ne treba da se dobije

eseper je napisao:[dispmath]=\int\frac{\mathrm dx}{x}{\color{red}+}\int\frac{\mathrm dx}{x-1}+\int\frac{\mathrm dx}{(x-1)^2}=[/dispmath]

već treba da se dobije[dispmath]=\int\frac{\mathrm dx}{x}{\color{red}-}\int\frac{\mathrm dx}{x-1}+\int\frac{\mathrm dx}{\left(x-1\right)^2}=[/dispmath]

Na greškama se uči. Znam za ubuduće Hvala

[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x^4+4x^2+3}[/dispmath]
Ovdje sam naišao na problem... Ovaj integral, dakle, sredim, i dobijem u obliku [dispmath]\int\frac{dx}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+3\right)}[/dispmath]
Parcijalnim razlomcima uredno dobijem da su
[inlmath]A=\frac{1}{2}\\
B=-\frac{1}{2}[/inlmath]
i sada to lijepo vratim, i dobijem
[dispmath]\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm dx}{x^2+1}-\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm dx}{x^2+3}[/dispmath]
ako se ovo ide rješavati supstitucijom postane komplicirano. S obzirom da mi je sve čudno u ovom zadatku, stavljam ga ovdje i tražim pomoć

Pa sve si dobro uradio. I ništa ovo što si dobio nije komplikovano, prvi integral ti je tablični, [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{1+x^2}=\mathrm{arctg}\:x+c[/inlmath], a drugi se lako svodi na taj tablični, u opštem slučaju ovako:
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a^2}\int\frac{\mathrm dx}{1+\left(\frac{x}{a}\right)^2}=\frac{\cancel a}{a^\cancel 2}\int\frac{\mathrm d\left(\frac{x}{a}\right)}{1+\left(\frac{x}{a}\right)^2}=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}+c[/dispmath]
U ovom konkretnom slučaju je, naravno, [inlmath]a=\sqrt 3[/inlmath].

Trebalo bi se sjetiti da nije uvijek samo bit u metodi zamjene i parcijalnoj integraciji, nego i tabličnim integralima Tnx

Može mala pomoć oko sljedećeg zadatka:
[dispmath]\int\frac{x\mathrm dx}{x^4-2x^2-1}[/dispmath]
kada se sredi dobije se [dispmath]\int\frac{x\mathrm dx}{\left(x^2-1\right)^2}[/dispmath]
Pokušao sam, ali čini se da je ovo tip zadatka koji se ne može rastaviti na parcijalne razlomke, pa sam išao ovako:

zamjena:
[inlmath]t=x^2-1\\
\mathrm dt=2x\mathrm dx[/inlmath]

ali i dalje ne dobivam ispravno rješenje koje bi trebalo biti:
[dispmath]\frac{1}{4\sqrt{2}}\ln\left|\frac{x^2-1-\sqrt{2}}{x^2-1+\sqrt{2}}\right|+C[/dispmath]
Pretpostavljam da su oni to nekako sveli na tablični integral, ali ne razumijem zašto kada se može metodom zamjene?

eseper je napisao:Može mala pomoć oko sljedećeg zadatka:
[dispmath]\int\frac{x\mathrm dx}{x^4-2x^2-1}[/dispmath]
kada se sredi dobije se [dispmath]\int\frac{x\mathrm dx}{\left(x^2-1\right)^2}[/dispmath]

Loše si sredio, ovi integrali nisu ekvivalentni.
[dispmath]x^4-2x^2-1\neq\left(x^2-1\right)^2[/dispmath]
A inače:
[dispmath]x^4-2x^2-1=\left(x^2-1\right)^2-2[/dispmath]
Pa smenom [inlmath]t=x^2-1[/inlmath] uz [inlmath]\mathrm dt=2x\mathrm dx[/inlmath]
Polazni integral postaje:
[dispmath]\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm dt}{t^2-2}[/dispmath]
Ovo dalje rešiš kao klasičan integral racionalne funkcije, vratiš smenu, razliku logaritama prevoriš u logaritam količnika i dobićeš njihovo rešenje.

eseper je napisao:kada se sredi dobije se [dispmath]\int\frac{x\mathrm dx}{\left(x^2-1\right)^2}[/dispmath]
Pokušao sam, ali čini se da je ovo tip zadatka koji se ne može rastaviti na parcijalne razlomke

Zašto ne može? Iako si do njega pogrešno došao, ajd da za trenutak pretpostavimo da zaista imamo takav integral:
[dispmath]\frac{x}{\left(x^2-1\right)^2}=\frac{x}{\left(x+1\right)^2\left(x-1\right)^2}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{\left(x+1\right)^2}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{\left(x-1\right)^2}=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{A\left(x+1\right)\left(x-1\right)^2+B\left(x-1\right)^2+C\left(x+1\right)^2\left(x-1\right)+D\left(x+1\right)^2}{\left(x+1\right)^2\left(x-1\right)^2}=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{A\left(x^2-1\right)\left(x-1\right)+B\left(x-1\right)^2+C\left(x+1\right)\left(x^2-1\right)+D\left(x+1\right)^2}{\left(x+1\right)^2\left(x-1\right)^2}=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{A\left(x^3-x^2-x+1\right)+B\left(x^2-2x+1\right)+C\left(x^3+x^2-x-1\right)+D\left(x^2+2x+1\right)}{\left(x+1\right)^2\left(x-1\right)^2}=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{\left(A+C\right)x^3+\left(-A+B+C+D\right)x^2+\left(-A-2B-C+2D\right)x+\left(A+B-C+D\right)}{\left(x+1\right)^2\left(x-1\right)^2}[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\begin{array}{l}
A+C=0\\
-A+B+C+D=0\\
-A-2B-C+2D=1\\
A+B-C+D=0
\end{array}\quad\Rightarrow\quad\begin{array}{l}
A=0\\
B=-\frac{1}{4}\\
C=0\\
D=\frac{1}{4}
\end{array}[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\frac{x}{\left(x^2-1\right)^2}=\frac{1}{4\left(x-1\right)^2}-\frac{1}{4\left(x+1\right)^2}[/dispmath]
Naravno, to nije ono što tebi treba u ovom zadatku. Ali, možda ti nekad i to zapadne, pa nije zgoreg da imaš postupak...

Hvala obojici. Sada rješavam malo drukčije tipove svih integrala od onih s nastave, uključujući i ove racionalnih funkcija, s obzirom da takvo nešto "neklasično" i očekujem

Evo još jednog takvog:
[dispmath]\int\frac{x^3\mathrm dx}{x^4-x^2-2}[/dispmath]
sređen glasi ovako [dispmath]\int\frac{x^3\mathrm dx}{\left(x^2+1\right)\left(x^2-2\right)}[/dispmath]
sada, rastav na parcijalne razlomke nije moguć, stoga preostaje zamjena varijabli tako da
[inlmath]t=x^2[/inlmath]
[inlmath]\mathrm dt=2x\mathrm dx[/inlmath] odnosno [inlmath]\frac{1}{2}\mathrm dt=x\mathrm dx[/inlmath]
pa onda imamo [dispmath]\frac{1}{2}\int\frac{t\mathrm dt}{(t+1)(t-2)}[/dispmath] i tek sada parcijalni razlomci
[dispmath]\frac{1}{2}\int\frac{A\mathrm dt}{t+1}+\frac{1}{2}\int\frac{B\mathrm dt}{t-2}[/dispmath]
[inlmath]A=\frac{1}{3}\\
B=\frac{2}{3}[/inlmath]
uvrstim to umjesto [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] i vratim zamjenu
konačno rješenje mi je
[dispmath]\int\frac{x^3\mathrm dx}{x^4-x^2-2}=\frac{1}{6}\ln\left|x^2+1\right|+\frac{1}{3}\ln\left|x^2-2\right|+C[/dispmath]

Ali, ovo ne stoji:

eseper je napisao:[dispmath]\int\frac{x^3\mathrm dx}{\left(x^2+1\right)\left(x^2-2\right)}[/dispmath]
sada, rastav na parcijalne razlomke nije moguć

Moguć je, isto kao i u prethodnom primeru:[dispmath]\int\frac{x^3\mathrm dx}{\left(x^2+1\right)\left(x^2-2\right)}=\int\frac{x^3\mathrm dx}{\left(x^2+1\right)\left(x+\sqrt 2\right)\left(x-\sqrt 2\right)}=[/dispmath]
[dispmath]=\int\left(\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{C}{x+\sqrt 2}+\frac{D}{x-\sqrt 2}\right)\mathrm dx=[/dispmath]
[dispmath]=\int\frac{\left(Ax+B\right)\left(x^2-2\right)+C\left(x^2+1\right)\left(x-\sqrt 2\right)+D\left(x^2+1\right)\left(x+\sqrt 2\right)}{\left(x^2+1\right)\left(x^2-2\right)}\mathrm dx=[/dispmath]
[dispmath]=\int\frac{Ax^3+Bx^2-2Ax-2B+Cx^3-C\sqrt 2x^2+Cx-C\sqrt 2+Dx^3+D\sqrt 2x^2+Dx+D\sqrt 2}{\left(x^2+1\right)\left(x^2-2\right)}\mathrm dx=[/dispmath]
[dispmath]=\int\frac{\left(A+C+D\right)x^3+\left(B-C\sqrt 2+D\sqrt 2\right)x^2+\left(-2A+C+D\right)x+\left(-2B-C\sqrt 2+D\sqrt 2\right)}{\left(x^2+1\right)\left(x^2-2\right)}\mathrm dx[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\begin{array}{l}
A+C+D=1\\
B-C\sqrt 2+D\sqrt 2=0\\
-2A+C+D=0\\
-2B-C\sqrt 2+D\sqrt 2=0
\end{array}\quad\Rightarrow\quad\begin{array}{l}
A=\frac{1}{3}\\
B=0\\
C=\frac{1}{3}\\
D=\frac{1}{3}
\end{array}[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad\int\frac{x^3\mathrm dx}{\left(x^2+1\right)\left(x^2-2\right)}=\int\left(\frac{1}{3}\cdot\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x+\sqrt 2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x-\sqrt 2}\right)\mathrm dx=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{1}{3}\left(\int\frac{x\mathrm dx}{x^2+1}+\int\frac{\mathrm dx}{x+\sqrt 2}+\int\frac{\mathrm dx}{x-\sqrt 2}\right)=\frac{1}{3}\left[\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm d\left(x^2\right)}{x^2+1}+\ln\left|x+\sqrt 2\right|+\ln\left|x-\sqrt 2\right|\right]=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{1}{6}\ln\left|x^2+1\right|+\frac{1}{3}\ln\left(\left|x+\sqrt 2\right|\cdot\left|x-\sqrt 2\right|\right)+c=\frac{1}{6}\ln\left|x^2+1\right|+\frac{1}{3}\ln\left|x^2-2\right|+c[/dispmath]
Istina, elegantnije jeste preko smene, to se slažem, hteo sam samo da pokažem da ni ovako nije nemoguće.

Malo sam se krivo izrazio. Moguće je, naravno, ali zašto komplicirati život

eseper je napisao:zašto komplicirati život

Ima nas koji uživamo u tome.

Jel moze pomoc oko ovog integrala? [dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x^2-x+1}[/dispmath] Posto mi je to ustvari deo jednog integrala koji se resava parcijalnom integracijom to sam isto pokusao i ovde al ne ide .Hvala unapred

U ovom slučaju rastavljanje na parcijalne razlomke nije moguće, budući da polinom u imeniocu nema nule – odmah možemo i videti da je taj polinom uvek pozitivan, jer on predstavlja jedan od dva faktora u rastavljanju zbira kubova: [inlmath]x^3+1=\left(x+1\right)\underbrace{\left(x^2-x+1\right)}_{>0}[/inlmath]
Zbog toga primenjujemo onu drugu metodu, koja je objašnjena počev od ovog posta, za slučaj kada polinom u imeniocu nema nule, pa se ne može rastaviti na faktore.
Ovde je postupak prilično pojednostavljen u odnosu na opšti slučaj, budući da u brojiocu nemamo polinom. Dakle, treba nekako ovaj integral da svedemo na oblik [inlmath]\int\frac{\mathrm dt}{1+t^2}[/inlmath], što predstavlja tablični integral [inlmath]\mathrm{arctg}\:t+c[/inlmath]:
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{x^2-x+1}=\int\frac{\mathrm dx}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}+1}=\int\frac{\mathrm dx}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}=\int\frac{\mathrm dx}{\frac{3}{4}\left[\frac{4}{3}\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+1\right]}=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{4}{3}\int\frac{\mathrm dx}{\frac{4}{3}\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+1}=\frac{4}{3}\int\frac{\mathrm dx}{\left[\frac{2}{\sqrt 3}\left(x-\frac{1}{2}\right)\right]^2+1}=\frac{4}{3}\int\frac{\frac{\sqrt 3}{2}\mathrm d\left[\frac{2}{\sqrt 3}\left(x-\frac{1}{2}\right)\right]}{\left[\frac{2}{\sqrt 3}\left(x-\frac{1}{2}\right)\right]^2+1}=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{2\sqrt 3}{3}\int\frac{\mathrm d\left[\frac{2}{\sqrt 3}\left(x-\frac{1}{2}\right)\right]}{\left[\frac{2}{\sqrt 3}\left(x-\frac{1}{2}\right)\right]^2+1}=\frac{2\sqrt 3}{3}\mathrm{arctg}\left[\frac{2}{\sqrt 3}\left(x-\frac{1}{2}\right)\right]+c=\frac{2\sqrt 3}{3}\mathrm{arctg}\left[\frac{\sqrt 3}{3}\left(2x-1\right)\right]+c[/dispmath]

Pozdrav,

mozete li mi uraditi ovaj zadatak malo me buni kad nema nula funkcija u imeniocu:
[dispmath]\int\frac{x^3}{x^2+x+1}\mathrm dx[/dispmath]

mozes podijeliti ta 2 polinoma, kasnije je lako izracunati integral kada to uradis

nulixos je napisao:mozete li mi uraditi ovaj zadatak malo me buni kad nema nula funkcija u imeniocu:
[dispmath]\int\frac{x^3}{x^2+x+1}\mathrm dx[/dispmath]

Najlakše je reći „možete li mi uraditi ovaj zadatak“. Potrudi se malo, na drugoj stranici ove iste teme, u ovom postu, detaljno sam opisao postupak kad u imeniocu nemaš nule. Štaviše, na taj post sam i linkovao tačno tri posta ranije, ne znam kako ti je to promaklo?

Naravno, potrebno je prethodno da ovaj razlomak svedeš na oblik u kome je polinom u brojiocu manjeg stepena od polinoma u imeniocu, a kako se to radi objasnio sam u ovom postu.

Dakle, imaš sva uputstva, sve što je potrebno to je da postupiš po njima. Ako ti negde nešto ne bude jasno, napiši svoj postupak da vidimo kako si radio i na kom mestu se pojavio problem.

Znam to dobijam integral pa ga ne znam rijesiti pa da provjerim kako se radi od pocetka

Dobijam nesto ovako, pa ako ga mozete provjeriti dobija li se bas ovaj i ntegral i kako ga rijesiti:
[dispmath]\int\frac{1}{x^2+x+1}\mathrm dx[/dispmath]

Tako je, dobije se taj integral. Zapravo, dobije se zbir dva integrala, od kojih se prvi lako rešava, a drugi je taj koji si napisao:
[dispmath]\int\left(x-1\right)\mathrm dx+\int\frac{\mathrm dx}{x^2+x+1}[/dispmath]
E sad, ovaj drugi integral radiš po uputstvu iz onog posta na koji sam ti dao link.

Meni na ovaj integral ispada nesto mnogo cudan rezultat, ne razumijem gdje je greska...

Evo postupka:
[dispmath]\int\frac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\mathrm dx[/dispmath]
Sada izvucem [inlmath]\frac{3}{4}[/inlmath] i onda uvedem smjenu [inlmath]\sqrt{\frac{4}{3}}x+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{4}{3}}[/inlmath]

Tako je.
Imaj u vidu da [inlmath]\sqrt{\frac{4}{3}}[/inlmath] možeš napisati i kao [inlmath]\frac{2}{\sqrt3}[/inlmath], ili, posle racionalizacije, kao [inlmath]\frac{2\sqrt3}{3}[/inlmath].

Ok. Hvala puno na pomoci.

Nema na čemu.
Dakle, kao konačan rezultat treba da dobiješ
[dispmath]\int\frac{x^3}{x^2+x+1}\mathrm dx=\frac{x^2}{2}-x+\frac{2\sqrt3}{3}\mathrm{arctg}\frac{\left(2x+1\right)\sqrt3}{3}x+c[/dispmath]

Evo uparvo sam dobio to.

nulixos je napisao:Meni na ovaj integral ispada nesto mnogo cudan rezultat, ne razumijem gdje je greska...

Evo postupka:
[dispmath]\int\frac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\mathrm dx[/dispmath]
Sada izvucem [inlmath]\frac{3}{4}[/inlmath] i onda uvedem smjenu [inlmath]\sqrt{\frac{4}{3}}x+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{4}{3}}[/inlmath]

Koliko mi je poznato, uobičajeno je (i profesori to uglavnom dozvoljavaju) da se ovaj integral uradi kao tablični, odmah. U opštijem slučaju je:
[dispmath]\int\frac{1}{\left(x+b\right)^2+a^2}\mathrm dx=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{x+b}{a}+C[/dispmath]
A u još opštijem:
[dispmath]\int\frac{1}{\left(Ax+b\right)^2+a^2}\mathrm dx=\frac{1}{aA}\mathrm{arctg}\frac{Ax+b}{a}+C[/dispmath]
Svakako je ipak najsigurnije raditi preko smene, tako se vidi ceo postupak. No nije loše imati i ovo u vidu, zbog kontrole dobijenog rezultata.

Daniel je napisao:[dispmath]\int\frac{3x-2}{2x^2-3x+4}\mathrm dx=[/dispmath]
Prvo gledamo da brojilac svedemo na izvod imenioca, a izvod imenioca je u ovom slučaju [inlmath]4x-3[/inlmath]:
[dispmath]=\frac{3}{4}\int\frac{4x-\frac{8}{3}}{2x^2-3x+4}\mathrm dx=\frac{3}{4}\int\frac{4x-3}{2x^2-3x+4}\mathrm dx+\frac{3}{4}\int\frac{3-\frac{8}{3}}{2x^2-3x+4}\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]=\frac{3}{4}\int\frac{\mathrm d\left(2x^2-3x+4\right)}{2x^2-3x+4}+\frac{3}{4}\int\frac{\frac{1}{3}}{2x^2-3x+4}\mathrm dx=\frac{3}{4}\ln\left|2x^2-3x+4\right|+\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm dx}{2x^2-3x+4}[/dispmath]

(ovaj post)

ako smijem predložiti malo drugačiji način za rješavanje ovog integrala, prvi dio je isti a drugi dio bi ja malo drugačije (drugi integral [inlmath]\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm dx}{2x^2-3x+4}[/inlmath]), a to je svođenjem imenioca na potpun kvadrat pomoću izraza
[dispmath]a\cdot x^2+b\cdot x+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}[/dispmath]
ili kako se valjda još zove svođenje na kanonski oblik
i onda dobijemo da je
[dispmath]\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm dx}{2x^2-3x+4}=\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm dx}{2\left(x-\frac{3}{4}\right)^2+\frac{23}{8}}=2\int\frac{\mathrm dx}{\left(4x-3\right)^2+23}[/dispmath]
i sad bi ja to posmatrao kao tablični integral pošto imam izveden izraz da je
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{(A\cdot x\pm b)^2+a^2}=\frac{1}{A\cdot a}\cdot\text{arctg }\frac{A\cdot x\pm b}{a}+C[/dispmath]
ali hajde da to uradimo "pješke", znači:
[dispmath]2\int\frac{\mathrm dx}{\left(4x-3\right)^2+23}=\frac{2}{23}\int\frac{\mathrm dx}{\left(\frac{4x-3}{\sqrt{23}}\right)^2+1}=\begin{bmatrix}
\frac{4x-3}{\sqrt{23}}=t & \mathrm dx=\frac{\sqrt{23}}{4}\mathrm dt\\
4\mathrm dx=\sqrt{23}\,\mathrm dt
\end{bmatrix}=[/dispmath][dispmath]=\frac{\sqrt{23}}{46}\int\frac{\mathrm dt}{t^2+1}=\frac{\sqrt{23}}{46}\text{arctg }t=\frac{\sqrt{23}}{46}\text{arctg}\left(\frac{4x-3}{\sqrt{23}}\right)[/dispmath]
p.s. valjda nisam napravio neku grešku u prekucavanju, često mi se to dešava