MATEMANIJA

U pitanju je izračunavanje površine ispod krive preko određenog integrala.Konkretno zanima me neki dokaz za ovu formulu.Jasna mi je definicija integrala preko površine beskonačno malih pravougaonika.A ovo oko primitive funkcije slabo mi je jasno gledajući geometrijski. Mislim kako ta primitivna funkcija predstavlja površinu ispod krive? Znam da u tome slučaju ta funkcije predstavlja integral od prvobitne funkcije. Ali ta veza između primitivne funkcije i integrala preko površine i nije mi baš najjasnija.
[dispmath]\int\limits_a^bf(x)\mathrm dx=F(b)-F(a)[/dispmath]

Ako posmatraš površinu ispod krive kao skup beskonačno tankih pravougaonika, površina svakog od tih pravougaonika je [inlmath]\mathrm dP\left(x\right)=f\left(x\right)\mathrm dx[/inlmath], jer je [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] njegova visina, a [inlmath]\mathrm dx[/inlmath] njegova širina. Odatle je izvod površine po promenljivoj [inlmath]x[/inlmath] jednak
[dispmath]P'\left(x\right)=\frac{\mathrm dP\left(x\right)}{\mathrm dx}=\frac{f\left(x\right)\cancel{\mathrm dx}}{\cancel{\mathrm dx}}=f\left(x\right)[/dispmath]
što znači da je [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] izvod od [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath], odakle sledi da je [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] primitivna funkcija funkcije [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath].

Primitivna funkcija funkcije [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] takođe će biti i [inlmath]P\left(x\right)+c,\;c=\mbox{const}[/inlmath], jer je [inlmath]\mathrm d\left[P\left(x\right)+c\right]=\mathrm dP\left(x\right)[/inlmath]...

To je odgovor koji sam tražio.

Skoro sam dosao do odgovora, tako da i meni bude jasno.
[dispmath]F'(x)=\frac{F(x+\mathrm dx)-F(x)}{\mathrm dx}=f(x)[/dispmath] Integral od [inlmath]a[/inlmath] do [inlmath]b[/inlmath] je suma svih pravougaonika sa stranicama [inlmath]f(x)[/inlmath] i [inlmath]\mathrm dx[/inlmath]. Integralna suma ide od [inlmath]a[/inlmath] do [inlmath]b[/inlmath] sa korakom [inlmath]\mathrm dx[/inlmath] ([inlmath]\mathrm dx\to0[/inlmath]).
[dispmath]\int\limits_a^b\!f(x)\,\mathrm dx=\int\limits_a^b\!\frac{F(x+\mathrm dx)-F(x)}{\cancel{\mathrm dx}}\cancel{\mathrm dx}=\int\limits_a^b\!F(x+\mathrm dx)-F(x)=\\
=\cancel{F(a+\mathrm dx)}-F(a)+F(a+2\cdot\mathrm dx)-\cancel{F(a+\mathrm dx)}+\cdots+\cancel{F(b-\mathrm dx)}-F(b-2\cdot\mathrm dx)+F(b)-\cancel{F(b-\mathrm dx)}=F(b)-F(a)[/dispmath]

Zapis je na više mesta pogrešan, ali rezon otprilike jeste taj...

Daniel je napisao:Zapis je na više mesta pogrešan

Na kojim mestima, sa kojim obrazlozenjem?

Moram i ja malo da se umešam u ovu zanimljivu diskusiju. U oba priložena dokaza postoje problemi. Suština svih problema je u sledećem u integralu, oznaka [inlmath]\mathrm dx[/inlmath] ne predstavlja broj. Bez obzira što baratanje ovim beskonačno malim veličinama često nas dovede do dobrog rezultata, pogrešno je to raditi! Lako možemo doći do problema.

Dakle, [inlmath]\mathrm dx[/inlmath] NE POSTOJI kao beskonačno mala veličina!

Baš iz tog razloga je kod tebe svaka jednakost problematična (zapravo svaki izraz je problematičan). Ali čak i kad bismo zažmurili, ponovo bi bili neki srodni problemi (tiču se definicije izvoda i integrala). Dakle, kada govorimo o izvodima i integralima u srednjoj školi i na tehničkim fakultetima, izvod se definiše kao limes odgovarajućeg količnika, a određen integral kao limes Rimanovih suma po svim podelama intervala... U tom kontekstu, ovakav dokaz bi imao više smisla

Neka je [inlmath]f[/inlmath] neprekidna na [inlmath][a,b][/inlmath], i neka [inlmath]x\in (a,b)[/inlmath]. Za funkciju [inlmath]F(x)=\int_a^x f(y)\,\mathrm dy[/inlmath] važi
[dispmath]F'(x)=\lim_{t\rightarrow 0} \frac{F(x+t) - F(t)}{t} = \lim_{t\rightarrow 0} \frac{\int\limits_{x}^{x+t} f(y)\,\mathrm dy}{t} = \lim_{x\le c\le x+t, t\rightarrow 0, } \frac{f(c) t}{t} = f(x)[/dispmath]
gde je [inlmath]c\in[x,x+t][/inlmath] dato na osnovu teoreme o međuvrednosti integrala. Ima u dokazu još mesta za pojašnjenje, ali najbolje je da se otvori neki udžbenik iz analize.



E sad, oznaka [inlmath]dx[/inlmath] ima nekog smisla kao forma ili kao mera (kada stoji u integralu), ali to su sasvim neke druge priče.

Sve u matematickoj analizi vazi samo ako pretpostavimo da vazi jedna od teorema: o supremumu, o neprekidnosti ili Arhimedovo svojstvo. Ako se dobro secam. Ali nista od toga nije moguce dokazati.