MATEMANIJA

Pozdrav svima!
Imam jedan problem u vezi ODREDJENIH integrala. U zbirci iz matematicke analize Milana Merklea nasao sam zadatak u kome se tvrdi da smena u ODREDJENOM integralu mora biti monotona funkcija. Kao primer dao je integral izmedju [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]\frac{5\pi}{6}[/inlmath] a podintegralna funkcija je [inlmath]\sin x[/inlmath]. E sad, ako se integral resava preko smene a ne direktno kao tablicni, i uzme za smenu [inlmath]t=\sin x[/inlmath] i integral resi u navedenim granicama, dobija se POGRESAN REZULTAT [inlmath]1-\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath]. To je navodno zbog toga sto [inlmath]\sin x[/inlmath] nije monotona u domenu integracije. Problem je resio tako sto je prvo odradio integral od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath], pa onda drugi integral od [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath] do [inlmath]\frac{5\pi}{6}[/inlmath] i dobio [inlmath]1+\frac{\sqrt3}{2}[/inlmath]
Ovakav uslov nisam nasao ni u jednoj drugoj knjizi iz matematike. Pogledao sam u Stewart-ov Calculus, i u Thomas-ov i u Anton-ov, sve prilicno poznate knjige na Zapadu i stampane u preko deset izdanja i sve one kazu da je dovoljno da smena bude neprekidna. Monotonost uopste ne pominju. Ja sam probao da smislim par funkcija u kojima se mora koristiti smena koja nije monotona, i gle cuda, dobijam uvek tacan rezultat bez obzira sto ne pazim na monotonost smene. Tako da izgleda da su ovi Amerikanci u pravu. A opet, sa druge strane, ne mogu da nadjem gde je Merkle pogresio (ako je uopste pogresio!).
Moze li neko da mi razjasni sta je u pitanju? Ako je problem oko postojanja inverzne funkcije, zasto se isti uslov ne zahteva kod NEODREDJENIH integrala? ili je ipak cika Merkle nesto pobrkao?
Unapred hvala!

Trebalo bi da koristis latex zbog preglednosti.
Teorema za smenu kod odredjenog integrala ne zahteva da funkcija bude monotona.
Prekucavam direktno iz knjige Matematicka analiza 1 od Zorana Kadelburga:
Neka je funkcija [inlmath]f\colon[A,B]\to\mathbb{R}[/inlmath] neprekidna, a funkcija [inlmath]\psi\colon[\alpha,\beta]\to[A,B][/inlmath] ima neprekidan prvi izvod i pri tome je [inlmath]a=\psi(\alpha),\;b=\psi(\beta)[/inlmath]. Tada vazi jednakost
[dispmath]\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x=\int_\alpha^\beta f\bigl(\psi(t)\bigr)\psi'(t)\,\mathrm{d}t[/dispmath]
Komentar posle dokaza teoreme:
U navedenoj teoremi formula smene promenljive izvedena je pod pretpostavkom da je funkcija [inlmath]f[/inlmath] neprekidna, sto je i najcesci slucaj u primenama. Pomenimo, medjutim, da u slucaju da je funkcija [inlmath]\psi[/inlmath] strogo monotona, ta formula vazi i pod slabijom pretpostavkom da je [inlmath]f[/inlmath] samo integrabilna na [inlmath][a,b][/inlmath].

Tako da postoje 2 teoreme o smeni promenljive u odredjenom integralu jedna zahteva monotonost a druga ne.

Trougao je napisao:Trebalo bi da koristis latex zbog preglednosti.

A i obavezujuće je – tačkom 13. Pravilnika.
Takođe, @Zorane, molim te da izbegavaš pisanje pojedinih reči caps-lockom (tačka 3. Pravilnika). Umesto toga, imaš bold i underline tagove (mada ni s njima ne treba preterivati).
S druge strane, pitanje si vrlo lepo postavio i detaljno opisao problem.
I, dobro došao na forum.

Hvala na odgovoru. Izvinjavam se zbog nekoriscenja Latexa, ne znam jos uvek da ga koristim.
Dakle, ako je [inlmath]f(x)[/inlmath] neprekidna, onda smena ne mora da bude monotona. Medjutim, ovaj Merkleov primer upravo koristi funkciju [inlmath]\sin x[/inlmath] koja jeste neprekidna, pa ipak se ispostvilo da smena mora biti monotona. Nije mi to bas najjasnije. Ako bi neko mogao da uradi bas Merkleov primer, i na njemu pokaze gde je autor pogresio.

Tek sam sad video jos jedan problem u odgovoru koji je dao Trougao. On je napisao varijantu smene kad je [inlmath]x[/inlmath] funkcija od nekog [inlmath]t[/inlmath] (oznaka [inlmath]\psi[/inlmath] u njegovom odgovoru). Tu nemam problema. Medjutim, mene zanima obrnuti slucaj- kada je [inlmath]t[/inlmath] funkcija od [inlmath]x[/inlmath]. Dakle [inlmath]t=\sin x[/inlmath]
Jos jednom se izvinjavam sto ne koristim Latex, zaista ne znam da ga koristim. Nadam se da je problem dovoljno zanimljiv da mi oprostite to malo krsenje pravila.

Zoran je napisao:On je napisao varijantu smene kad je [inlmath]x[/inlmath] funkcija od nekog [inlmath]t[/inlmath] (oznaka [inlmath]\psi[/inlmath] u njegovom odgovoru). Tu nemam problema. Medjutim, mene zanima obrnuti slucaj- kada je [inlmath]t[/inlmath] funkcija od [inlmath]x[/inlmath]. Dakle [inlmath]t=\sin x[/inlmath]

Verujem da ovde lezi problem [inlmath]t=\sin x[/inlmath] time u stvari mislis da koristis [inlmath]\arcsin t=x[/inlmath] i onda se domeni i kodomeni ne poklapaju po uslovima teoreme [inlmath]\arcsin t\colon[-1,1]\to\Bigl[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\Bigr][/inlmath] ali tebi [inlmath]x[/inlmath] od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]\frac{5}{6}\pi[/inlmath] znaci interval integracije ti se ne poklapa sa kodomenom [inlmath]\arcsin t[/inlmath].

Tako sam i ja razumeo Merklovo objasnjenje. Medjutim, ja sam uradio par integrala gde takodje smena nije monotona, pa ipak ispadne tacan rezultat. A ni u jednoj drugoj knjizi ne nadjoh ovu pricu o monotonosti. Totalno sam zbunjen.

Smena ne mora biti monotona. Smena ne mora biti ni injektivna (odnosno, ne mora postojati ni inverzna funkcija). [naravno, s obzirom da je smena neprekidna, to su ovo iste stvari]

Problem kod tog primera je da ako uzmemo [inlmath]t=\sin x[/inlmath] onda kod trazenja [inlmath]dx[/inlmath] imamo [inlmath]\displaystyle dx=\pm\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}[/inlmath]. Dakle, imamo taj deo [inlmath]\pm[/inlmath]. Deo [inlmath]+[/inlmath] dobijamo kada je [inlmath]\cos[/inlmath] pozitivan, tj. od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]\pi/2[/inlmath], a minus kada je negativan, tj. od [inlmath]\pi/2[/inlmath] do [inlmath]5\pi/6[/inlmath]. I zbog toga vrsimo dato razdvajanje integrala.

I pocni da koritis LaTeX, smatraj da si upozoren (sledeci put ti brisem post, ako ne budes postovao ovo pravilo). U delu Pravilnika koji to nalaže se nalazi i link ka upotrebi LaTeX-a na ovom forumu.

Ok, razumeo sam. Ali zar taj dvostruki znak nije upravo posledica cinjenice da smena nije monotona? Ako smena nije monotona, inverzna funkcija nece postojati kao jedinstvena funkcija. Tj. samo strogo monotone funkcije imaju inverznu funkciju. Ako funkcija nije monotona, njen domen se deli na segmente na kojima jeste pa se onda traze inverzne funkcije za svaki segment posebno. Bar sa ja tako ucio. Okreni- obrni, nesto tu skripi.

Taj dvostruki znak nije posledica monotonosti.

Ponovo, naglasio sam da nam nije potrebno da je smena monotona, stavise, ne mora ni postojati inverzna funkcija.

Ali da, postoji teorema o smeni promenljivosti koja zahteva monotonost, ali to su sve dovoljni uslovi, a ne neophodni. Odnosno, sam autora je odlucio da teoremu dokaze pod jednim uslovima, koji ce mu ocigledno biti sasvim dovoljni za sam efektivan rad, ali niko nije rekao da bez tih uslova ne moze vaziti sama teorema (vec moze, ali pod nekim sad drugim uslovima).

Onomatopeja je napisao:Problem kod tog primera je da ako uzmemo [inlmath]t=\sin x[/inlmath] onda kod trazenja [inlmath]dx[/inlmath] imamo [inlmath]\displaystyle dx=\pm\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}[/inlmath]. Dakle, imamo taj deo [inlmath]\pm[/inlmath]. Deo [inlmath]+[/inlmath] dobijamo kada je [inlmath]\cos[/inlmath] pozitivan, tj. od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]\pi/2[/inlmath], a minus kada je negativan, tj. od [inlmath]\pi/2[/inlmath] do [inlmath]5\pi/6[/inlmath].

Čisto da još malo pojasnim ukoliko je potrebno – ovo citirano sledi iz načina na koji se jednačina [inlmath]\sin x=t[/inlmath] rešava po [inlmath]x[/inlmath]. Ukoliko [inlmath]x[/inlmath] pripada intervalu [inlmath]\Bigl[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\Bigr][/inlmath] (što predstavlja, zapravo, kodomen arkus sinusa), tada je rešenje te jednačine jednostavno [inlmath]x=\arcsin t[/inlmath]. Odatle sledi i da je [inlmath]\displaystyle\mathrm dx=\frac{\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}}[/inlmath] (dakle, s plusom ispred razlomačke crte).
Međutim, ukoliko [inlmath]x[/inlmath] pripada intervalu [inlmath]\Bigl[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\Bigr][/inlmath], tada rešenje jednačine [inlmath]\sin x=t[/inlmath] nije [inlmath]x=\arcsin t[/inlmath], već je [inlmath]x=\pi-\arcsin t[/inlmath]. Odatle sledi i da je [inlmath]\displaystyle\mathrm dx=-\frac{\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}}[/inlmath] (dakle, s minusom ispred razlomačke crte).

---

Do istog zaključka se može doći i na sledeći način. Imamo, dakle, [inlmath]\sin x=t[/inlmath], pa diferenciramo obe strane:
[dispmath]\cos x\,\mathrm dx=\mathrm dt[/dispmath]
Kada je [inlmath]x\in\Bigl[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\Bigr][/inlmath], tada je kosinus pozitivan, pa važi [inlmath]\cos x=\sqrt{1-\sin^2x}[/inlmath] (s plusom ispred korena):
[dispmath]x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\quad\Longrightarrow\quad\sqrt{1-\sin^2x}\,\mathrm dx=\mathrm dt\quad\Longrightarrow\quad\sqrt{1-t^2}\,\mathrm dx=\mathrm dt\quad\Longrightarrow\quad\mathrm dx=\frac{\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}}[/dispmath]
Međutim, kada je [inlmath]x\in\Bigl[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\Bigr][/inlmath], tada je kosinus negativan, pa važi [inlmath]\cos x=-\sqrt{1-\sin^2x}[/inlmath] (s minusom ispred korena):
[dispmath]x\in\left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right]\quad\Longrightarrow\quad-\sqrt{1-\sin^2x}\,\mathrm dx=\mathrm dt\quad\Longrightarrow\quad-\sqrt{1-t^2}\,\mathrm dx=\mathrm dt\quad\Longrightarrow\quad\mathrm dx=-\frac{\mathrm dt}{\sqrt{1-t^2}}[/dispmath]

Ja bih napomenuo da sam radio na ovaj drugi nacin, tj. bez pozivanja na inverznu funkciju (jer nam ona nije ni neophodna, sto je i bio cilj). [a i naglasio sam u svom postu da nam taj plus/minus znak diktira kosinus]