od arsenije » Nedelja, 05. Januar 2020, 13:29
Drinkača, Primus je pokušao da pomogne, ali ne može tako. Integral se rešava:
uvodi se smena:
[dispmath]1-x=t^2\cdot(1+x)\\
\Longrightarrow\;x=\frac{1-t^2}{t^2+1}\\
\Longrightarrow\;\mathrm dx=\frac{-4t\cdot(\mathrm dt)}{\left(t^2+1\right)^2}\\
\Longrightarrow\;t=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\\
a-x=\frac{(a+1)t^2+a-1}{t^2+1}\\
\sqrt{1-x^2}=\sqrt{(1-x)(1+x)}=\frac{2t}{t^2+1}[/dispmath] Sada integral postaje:
[dispmath]\int\limits_\infty^0\frac{\frac{-4t\cdot(dt)}{\left(t^2+1\right)^2}}{\frac{\left(t^2\cdot(a+1)+a-1\right)\cdot(2t)}{\left(t^2+1\right)\left(t^2+1\right)}}[/dispmath] Posle skraćivanja i zbog minusa menjamo granice integrala i on postaje:
[dispmath]\int\limits_0^\infty{\frac{2\,\mathrm dt}{t^2(a+1)+a-1}},[/dispmath] sad kad podelimo integral sa [inlmath]a-1[/inlmath] dobijamo:
[dispmath]\frac{2}{a-1}\int\limits_0^\infty\frac{\mathrm dt}{\frac{a+1}{a-1}\left(t^2\right)+1},[/dispmath] sad uvodimo novu smenu:
[dispmath]t\sqrt{\frac{a+1}{a-1}}=u,\qquad\Longrightarrow\qquad\mathrm dt=\mathrm du\,\frac{\sqrt{(a-1)}}{\sqrt{(a+1)}},[/dispmath] pa dobijamo:
[dispmath]\frac{2}{\sqrt{a^2-1}}\int\limits_0^\infty\frac{\mathrm du}{u^2+1}[/dispmath] i ovo je sad tablični integral po [inlmath]\text{arctg }u[/inlmath], i lako se dobija konačno rešenje [inlmath]\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{a^2-1}}[/inlmath], i sad je jasno zašto je onaj uslov na početku!
Poslednji put menjao
Daniel dana Nedelja, 05. Januar 2020, 16:12, izmenjena samo jedanput
Razlog: Korekcija Latexa