MATEMANIJA

Pozdrav, imam problem sa jednim zadatakom u vezi Stokesovog teorem-a. Dakle ovako ide zadatak:

Izračunati potpuni krivolinijski integral II vrste:
[dispmath]I=\oint_L y\,\mathrm dx+x^2\,\mathrm dy+z\,\mathrm dz[/dispmath] gdje je kriva [inlmath]L[/inlmath] presjek površi
[dispmath]x^2+y^2=2(x+y)[/dispmath] [dispmath]z=x^2+y^2[/dispmath]
A ovo je rješenje:
[dispmath]\begin{vmatrix}
\cos\alpha & \cos\beta & \cos\gamma\\
\displaystyle\frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial}{\partial z} \\
y & x^2 & z
\end{vmatrix}\mathrm d\sigma=(2x-1)\cos\gamma[/dispmath][dispmath]p=\frac{\mathrm dz}{\mathrm dx}[/dispmath][dispmath]q=\frac{\mathrm dz}{\mathrm dy}[/dispmath][dispmath]\cos\gamma=\frac{1}{\sqrt{p^2+q^2+1}}[/dispmath] Pa onda prelazimo u dvostruki integral:
[dispmath]\iint_S(2x-1)\cos\gamma\,\mathrm d\sigma[/dispmath][dispmath]\iint_{D_{xy}}(2x-1)\,\mathrm dx\,\mathrm dy[/dispmath] I sad mi nije jasno kako smo izgubili
[dispmath]\cos\gamma[/dispmath] koje bi trebalo da je
[dispmath]\cos\gamma=\frac{1}{\sqrt{p^2+q^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{(2x)^2+(2y)^2+1}}[/dispmath] Ostatak rješenja mi je jasan, pa ako ima neko da pomogne bio bih mu zahvalan

Površinski integral [inlmath]\iint_S f(x,y,z) \cos \gamma\, \mathrm d\sigma[/inlmath] druge vrste po površi [inlmath]S[/inlmath], izborom normale površi, svodi se na površinski integral prve vrste uz pomoć formule [dispmath]\iint_S f(x,y,z) \cos \gamma\, \mathrm d\sigma = \iint_\Delta f\left(\phi(u,v),\psi(u,v), \xi(u,v)\right)\sqrt{EG-F^2}\cos \gamma\,\mathrm du\mathrm dv,[/dispmath] gde je [inlmath]\vec r = (\phi(u,v), \psi(u,v), \xi(u,v))[/inlmath], za [inlmath](u,v)\in \Delta[/inlmath], parametrizacija površi [inlmath]S[/inlmath], a [inlmath]E, G[/inlmath] i [inlmath]F[/inlmath] standardne oznake za koeficijente prve forme.

U specijalnom slučaju, kada je površ po kojoj integrališ zadata oblikom [inlmath]z=z(x,y)[/inlmath], odnosno kada je parametrizacija površi [inlmath]\vec r = (x, y, z(x,y))[/inlmath], tada je [inlmath]\sqrt{EG-F^2}=\sqrt{1+p^2+q^2}[/inlmath] (gde su [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] onakvi kako si ih ti definisao), pa je [dispmath]\iint_S f(x,y,z) \cos \gamma\, \mathrm d\sigma = \iint_\Delta f(x, y,z(x,y)) \sqrt{1+p^2+q^2} \frac{1}{\sqrt{1+p^2+q^2}}\, \mathrm dx \mathrm dy = \iint_\Delta f(x, y,z(x,y)) \, \mathrm dx \mathrm dy.[/dispmath]