MATEMANIJA

Pozdrav, imam problem oko ovog zadatka, u pitanju su Integrali racionalinih funkcija.
Zadatak glasi:

Riješiti integral
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\left(x^2+4x+5\right)^3}[/dispmath] E sada ja sam probao nesto na ovaj način:
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{\left((x+2)^2+1\right)^3}[/dispmath] I onda uveo smjenu
[dispmath]x+2=t;\;\mathrm dx=\mathrm dt[/dispmath] Dobio
[dispmath]\int\frac{\mathrm dt}{\left(t^2+1\right)^3}[/dispmath]
E sada ne znam sta dalje, pa ko je neko imao sličan problem, pomoglo bi mi.
Unaprijed Hvala!

Pozdrav. Brojilac napišeš kao [inlmath]\left(t^2+1-t^2\right)\mathrm dt[/inlmath] i razdvojiš na zbir dva integrala pa primeniš parcijalnu, kako bi sveo na integral [inlmath]\displaystyle\int\frac{\mathrm dt}{\left(t^2+1\right)^2}[/inlmath].
Zatim na integral [inlmath]\displaystyle\int\frac{\mathrm dt}{\left(t^2+1\right)^2}[/inlmath] primeniš isti postupak kako bi ga sveo na poznati integral [inlmath]\displaystyle\int\frac{\mathrm dt}{t^2+1}[/inlmath].

Izvini, ali slabo razumijem:
Brojilac sam napisao i sada imam:
[dispmath]\int\frac{\left(t^2+1-t^2\right)\mathrm dt}{\left(t^2+1\right)^3}[/dispmath] Onda napisem kao zbir:
[dispmath]\int\frac{\left(t^2+1\right)\mathrm dt}{\left(t^2+1\right)^3}+\int\frac{\left(-t^2\right)\mathrm dt}{\left(t^2+1\right)^3}[/dispmath] I sada ovo sa parcijalnom mi nije jasno.

Sad od ovog prvog integrala, nakon skraćivanja, upravo i dobijaš taj međurezultat, [inlmath]\displaystyle\int\frac{\mathrm dt}{\left(t^2+1\right)^2}[/inlmath].
U drugom integralu, pre svega, izvuci ovaj minus napolje. Zatim [inlmath]t^2[/inlmath] iz brojioca rastavi kao [inlmath]t\cdot t[/inlmath], i ovo prvo [inlmath]t[/inlmath] će ti u parcijalnoj biti [inlmath]u[/inlmath], a [inlmath]\mathrm dv[/inlmath] će biti ovo ostalo...

Pozdrav,
To sam uradio.
[dispmath]\int\frac{\mathrm dt}{\left(t^2+1\right)^2}-\int\frac{t\cdot t}{\left(t^2+1\right)^3}\,\mathrm dt[/dispmath] Kad uradim parcijalnu od desnog izraza dobijem:
[dispmath]-\frac{t}{4\left(t^2+1\right)^2}+\int\frac{1}{4\left(t^2+1\right)^2}\,\mathrm dt[/dispmath]
E sada konacni izraz mi je:
[dispmath]\int\frac{\mathrm dt}{\left(t^2+1\right)^2}-\frac{t}{4\left(t^2+1\right)^2}+\int\frac{1}{4\left(t^2+1\right)^2}\,\mathrm dt[/dispmath] Nadam se da sam pravilno uradio, da li je trebalo parcijalnu primjeniti i na lijevi integral nakon skraćivanja?
Mnogo Hvala na dosadasnjim odgovorima!

Parcijalnu si dobro uradio, ali kad si uvrštavao prevideo si da se ispred tog integrala (za koji si radio parcijalnu) nalazio minus i da treba da se promene znakovi (plus u minus, minus u plus). Dakle, treba da se dobije
[dispmath]\int\frac{\mathrm dt}{\left(t^2+1\right)^2}{\color{red}+}\frac{t}{4\left(t^2+1\right)^2}{\color{red}-}\int\frac{\mathrm dt}{4\left(t^2+1\right)^2}[/dispmath] Naravno, možeš ovo svesti na samo dva sabirka (u trećem sabirku izvučeš [inlmath]\frac{1}{4}[/inlmath] ispred integrala i onda uočiš da je taj integral isti kao onaj u prvom sabirku, te ih možeš sabrati), što znači da je ostalo još samo da nađeš [inlmath]\int\frac{\mathrm dt}{\left(t^2+1\right)^2}[/inlmath] a to radiš na potpuno isti način ([inlmath]1=t^2+1-t^2[/inlmath], zatim rastavljanje na zbir integrala, [inlmath]t^2=t\cdot t[/inlmath], pa parcijalna).