Ono što tebi treba to je formula za izračunavanje dužine luka. Naravno da takva formula postoji. Ako imamo npr. sledeći grafik:
- duzina luka.png (1.13 KiB) Pogledano 692 puta
dužinu njegovog luka možemo u prvoj aproksimaciji predstaviti kao sumu dužina duži čiji se krajevi nalaze na tom luku.
Dužina duži [inlmath]s_k[/inlmath] čije su [inlmath]x[/inlmath]-koordinate krajeva [inlmath]x_k[/inlmath] i [inlmath]x_{k+1}[/inlmath] može se odrediti preko Pitagorine teoreme,
[dispmath]s_k=\sqrt{\Delta x_k^2+\Delta y_k^2}[/dispmath] gde je [inlmath]\Delta x_k=x_{k+1}-x_k[/inlmath] i [inlmath]\Delta y_k=y_{k+1}-y_k[/inlmath].
Dužina luka u toj aproksimaciji biće jednaka
[dispmath]S_n=\sum_{k=1}^n\sqrt{\Delta x_k^2+\Delta y_k^2}=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y_k}{\Delta x_k}\right)^2}\Delta x_k[/dispmath] a kako usitnjavamo tu podelu, tj. kako [inlmath]n\to\infty[/inlmath] i [inlmath]\Delta x_k\to\mathrm dx[/inlmath], suma će preći u integral i dobićemo tačnu dužinu luka:
[dispmath]S=\underset{\Delta x_k\to\,\mathrm dx}{\lim_{n\to\infty}}\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y_k}{\Delta x_k}\right)^2}\Delta x_k[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{S=\int\limits_a^b\sqrt{1+(y')^2}\,\mathrm dx}[/dispmath] gde su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath], naravno, granice intervala na kojem se posmatra dužina luka.
Naravno, pri računanju obima figure oivičene krivama, treba sabrati dužine gornjeg i donjeg luka kojima je ista oivičena.