Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

Obim figure

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

Obim figure

Postod Milica8 » Utorak, 14. April 2020, 16:39

Pozdrav. Zanima me da li postoji formula kojom je moguce izracunati obim figure koja je ogranicena krivama, koristeci integrale? Trazila sam po internetu, ali nista korisno. Nadam se da ce neko, ukoliko zna pomoci.
Milica8  OFFLINE
BANOVANA (klon)
 
Postovi: 19
Zahvalio se: 10 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Obim figure

Postod Daniel » Sreda, 15. April 2020, 09:24

Ono što tebi treba to je formula za izračunavanje dužine luka. Naravno da takva formula postoji. Ako imamo npr. sledeći grafik:

duzina luka.png
duzina luka.png (1.13 KiB) Pogledano 691 puta

dužinu njegovog luka možemo u prvoj aproksimaciji predstaviti kao sumu dužina duži čiji se krajevi nalaze na tom luku.
Dužina duži [inlmath]s_k[/inlmath] čije su [inlmath]x[/inlmath]-koordinate krajeva [inlmath]x_k[/inlmath] i [inlmath]x_{k+1}[/inlmath] može se odrediti preko Pitagorine teoreme,
[dispmath]s_k=\sqrt{\Delta x_k^2+\Delta y_k^2}[/dispmath] gde je [inlmath]\Delta x_k=x_{k+1}-x_k[/inlmath] i [inlmath]\Delta y_k=y_{k+1}-y_k[/inlmath].

Dužina luka u toj aproksimaciji biće jednaka
[dispmath]S_n=\sum_{k=1}^n\sqrt{\Delta x_k^2+\Delta y_k^2}=\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y_k}{\Delta x_k}\right)^2}\Delta x_k[/dispmath] a kako usitnjavamo tu podelu, tj. kako [inlmath]n\to\infty[/inlmath] i [inlmath]\Delta x_k\to\mathrm dx[/inlmath], suma će preći u integral i dobićemo tačnu dužinu luka:
[dispmath]S=\underset{\Delta x_k\to\,\mathrm dx}{\lim_{n\to\infty}}\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y_k}{\Delta x_k}\right)^2}\Delta x_k[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{S=\int\limits_a^b\sqrt{1+(y')^2}\,\mathrm dx}[/dispmath] gde su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath], naravno, granice intervala na kojem se posmatra dužina luka.

Naravno, pri računanju obima figure oivičene krivama, treba sabrati dužine gornjeg i donjeg luka kojima je ista oivičena.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Obim figure

Postod Milica8 » Sreda, 15. April 2020, 10:34

Aha, jasno. Znaci, na konkretnom primjeru ako imam krive [inlmath]y=\sqrt[3]x[/inlmath] i [inlmath]y=-|x|[/inlmath]. Obim figure koju ogranicavaju ove dvije krive cu dobiti kada saberem ta dva luka?
Milica8  OFFLINE
BANOVANA (klon)
 
Postovi: 19
Zahvalio se: 10 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Obim figure

Postod Daniel » Sreda, 15. April 2020, 21:48

Upravo tako, pri čemu se za granice integraljenja uzmu [inlmath]x[/inlmath]-koordinate presečnih tačaka ove dve krive (koje je sasvim lako odrediti).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Obim figure

Postod Milica8 » Četvrtak, 16. April 2020, 15:58

Vezano je za ovaj zadatak, pa da ne otvaram novu temu. Kada racunam duzinu luka prve krive to jest [inlmath]y=\sqrt[3]x[/inlmath] dobijam sledeci integral [inlmath]\displaystyle\frac{1}{3}\int\limits_{-1}^0\sqrt{9+\frac{1}{\sqrt[3]{x^4}}}\,\mathrm dx[/inlmath]. Probala sam ga resiti kao iracionalnu funkciju, zatim uvodeci smenu potkorenu velicinu, ali se jos vise zakomplikuje. :crazy:
Milica8  OFFLINE
BANOVANA (klon)
 
Postovi: 19
Zahvalio se: 10 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Obim figure

Postod Daniel » Petak, 17. April 2020, 06:59

Jeste, taj integral je nerešiv, tj. ne može se izraziti preko elementarnih funkcija. Smenom [inlmath]x=t^3[/inlmath], a nakon toga smenom [inlmath]t\sqrt3=u[/inlmath], dolazimo do nerešivog integrala [inlmath]\int\sqrt{1+u^4}\,\mathrm dt[/inlmath] (koji se, doduše, može izraziti preko gama funkcije).
Smem li pitati, odakle je ovaj zadatak?
I, ako nije problem, da navedeš tačan tekst zadatka (od reči do reči).
Jer, deluje mi vrlo malo verovatno da su vam baš ovakav zadatak dali na testu/ispitu/domaćem.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Obim figure

Postod Milica8 » Petak, 17. April 2020, 10:04

Da, i pretpostavila sam da je neresiv. Zadatak jeste sa jednog od rokova i glasi tacno ovako: Figura [inlmath]F[/inlmath] je ogranicena krivama [inlmath]y=\sqrt[3]x[/inlmath] i [inlmath]y=-|x|[/inlmath]. Napisati izraz za obim figure [inlmath]F[/inlmath]. Doduse sad vidim da je navedeno u zagradi da se ne racunaju vrednosti odredjenih integrala, verovatno je upravo to razlog. Opet nelogicno sto je ovaj zadatak bas na roku :?
Milica8  OFFLINE
BANOVANA (klon)
 
Postovi: 19
Zahvalio se: 10 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Obim figure

Postod Daniel » Petak, 17. April 2020, 10:26

Milica8 je napisao:Doduse sad vidim da je navedeno u zagradi da se ne racunaju vrednosti odredjenih integrala,

Eh. :facepalm: Upravo zbog ovakvih situacija i postoji tačka 11. Pravilnika... Al' džaba, ko to još čita... :(
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 35 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 10:53 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs