Moguće da nisam baš razumeo taj način, hajde da vidimo:
[dispmath]\frac{1}{\cos^2x}\cdot\frac{\sqrt{\text{tg }x}}{\frac{1}{\cos^2x}}=\frac{1}{\cos^2x}\cdot\frac{\sqrt{\text{tg }x}}{\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\cos^2x}}=\frac{1}{\frac{1}{\cancel{1+\text{tg}^2x}}}\cdot\frac{\sqrt{\text{tg }x}}{\cancel{\text{tg}^2x+1}}=\sqrt{\text{tg }x}[/dispmath] i opet sam na početku.
Način na koji bi ovaj integral sigurno mogao da se reši, iako ne previše jednostavan (ne bih baš ni rekao da za ovaj integral postoji neki mnogo jednostavan način), bio bi da prvo uvedemo smenu [inlmath]\text{tg }x=t^2[/inlmath], čime nakon malo sređivanja dobijemo integral [inlmath]\displaystyle\int\frac{2t^2\,\mathrm dt}{t^4+1}[/inlmath] ili, nakon što i brojilac i imenilac podelimo sa [inlmath]t^2[/inlmath],
[dispmath]\int\frac{2\,\mathrm dt}{t^2+\frac{1}{t^2}}[/dispmath] Ovaj imenilac se može napisati bilo kao [inlmath]\left(t+\frac{1}{t}\right)^2-2[/inlmath], bilo kao [inlmath]\left(t-\frac{1}{t}\right)^2+2[/inlmath]. Kako bismo ovaj izraz u zagradi mogli izjednačiti s novom smenom, zgodno je u brojiocu imati izvod tog izraza. Za prvi izraz izvod bi bio [inlmath]1-\frac{1}{t^2}[/inlmath], a za drugi bi bio [inlmath]1+\frac{1}{t^2}[/inlmath]. I, zaista – ovu dvojku u brojiocu taman možemo napisati kao zbir [inlmath]1-\frac{1}{t^2}[/inlmath] i [inlmath]1+\frac{1}{t^2}[/inlmath], nakon čega ćemo taj integral zbira rastaviti na zbir integrala:
[dispmath]\int\frac{\left(1-\frac{1}{t^2}\right)+\left(1+\frac{1}{t^2}\right)}{t^2+\frac{1}{t^2}}\,\mathrm dt=\int\!\frac{1-\frac{1}{t^2}}{t^2+\frac{1}{t^2}}\,\mathrm dt+\int\!\frac{1+\frac{1}{t^2}}{t^2+\frac{1}{t^2}}\,\mathrm dt=\\
=\int\frac{1-\frac{1}{t^2}}{\left(t+\frac{1}{t}\right)^2-2}\,\mathrm dt+\int\frac{1+\frac{1}{t^2}}{\left(t-\frac{1}{t}\right)^2+2}\,\mathrm dt=\int\frac{\left(t+\frac{1}{t}\right)'\,\mathrm dt}{\left(t+\frac{1}{t}\right)^2-2}+\int\frac{\left(t-\frac{1}{t}\right)'\,\mathrm dt}{\left(t-\frac{1}{t}\right)^2+2}[/dispmath] Zatim za prvi integral uvedemo smenu [inlmath]1+\frac{1}{t}=u[/inlmath], a za drugi [inlmath]1-\frac{1}{t}=v[/inlmath]... i dalje ne bi trebalo da bude problema da se to reši...