od Onomatopeja » Utorak, 21. April 2020, 18:34
Napomenuo bih ovde da je trazeno ogranicenje za [inlmath]e^{-x^2},[/inlmath] jer kod [inlmath]e^{-x^2+1}[/inlmath] ocito ovo jedno [inlmath]e^1[/inlmath] moze da iskoci ispred integrala i ne utice na konvergenciju.
Da, ako integral [inlmath]\displaystyle\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^2}[/inlmath] konvergira onda ce konvergirati i pocetni integral, na to se svelo. U ovom slucaju ovaj prethodni integral se lako resava, te je jasno da konvergira, ali recimo da si imala slicnu ocenu [inlmath]\displaystyle\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^7}[/inlmath]? Tu se vec ne nalazi tako lako sama vrednost za integral, no to ovde nije ni neophodno (zelimo da konvergira, vrednost nije sustinski bitna), a da konvergira se ipak moze videti gledanjem asimptotskog ponasanja podintegralne funkcije u beskonacnosti (jer je tu jedini singularitet)
Ta ocena za logaritam te verovatno zanima za neki drugi zadatak, al dok se ne vidi kako on glasi slaba vajda. Postoji ocena [inlmath]\ln(1+x)\leq x[/inlmath] za sve [inlmath]x>-1,[/inlmath] tj. [inlmath]\ln x\leq x-1[/inlmath] za [inlmath]x>0,[/inlmath] ako ti zavrsava posao.