MATEMANIJA

Ispitati konvergenciju integrala:
[dispmath]\int\limits_0^{+\infty} e^{-x^2+1}\mathrm dx[/dispmath] Probala sam da izracunam limes kad neko [inlmath]A[/inlmath] tezi [inlmath]+\infty[/inlmath]. Ali mi ne deluje da je integral [inlmath]\int_0^Ae^{-x^2+1}\,\mathrm dx[/inlmath] resiv. Inace mozda ovo i nije pravi nacin za ispitivanje konvergencije, ali sam mislila ako resim ovaj integral i dobijem konacnu vrednost onda konvergira u suprotnom divergira.

Moze se izracunati ovaj integral, no potrebno je znanje Fubinijeve teoreme za dvostruke integrale i teoreme o smeni promenlivih ili poznavanje Gama funkcije (na primer, moze i drugacije verujem). No posto je pitanje vezano samo za konvergenciju, ako je poznato da vazi [inlmath]e^x \geq 1+x[/inlmath] za sve [inlmath]x\in\mathbb{R},[/inlmath] to je onda i [inlmath]e^{x^2}\geq 1+x^2,[/inlmath] a odatle je [inlmath]\displaystyle e^{-x^2}\leq \frac{1}{1+x^2}[/inlmath] za sve [inlmath]x\in\mathbb{R}.[/inlmath] Sad iskoristi poredbeni kriterijum.

Moze se resiti i preko integralnog testa, ideja za drugi nacin.

I dobije se da je [inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}e^{-x^2+1}=0[/inlmath]? To znaci da konvergira?

To da je taj limes jednak nuli se vidi i bez ove procene.

Ne, to ne znaci nista. Iskoristi poredbeni kriterijum, to je jedan od prvih kriterijuma koji se rade.

Daa, upravo sam htela da se ispravim. Nadjem integral od [inlmath]\frac{1}{1+x^2}[/inlmath] i ako dobijem da on konvergira onda konvergira i pocetni?
I jos jedno pitanje kako moze da se ogranici funkcija [inlmath]y=\ln x[/inlmath] koristeci isto ovaj nacin?

Napomenuo bih ovde da je trazeno ogranicenje za [inlmath]e^{-x^2},[/inlmath] jer kod [inlmath]e^{-x^2+1}[/inlmath] ocito ovo jedno [inlmath]e^1[/inlmath] moze da iskoci ispred integrala i ne utice na konvergenciju.

Da, ako integral [inlmath]\displaystyle\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^2}[/inlmath] konvergira onda ce konvergirati i pocetni integral, na to se svelo. U ovom slucaju ovaj prethodni integral se lako resava, te je jasno da konvergira, ali recimo da si imala slicnu ocenu [inlmath]\displaystyle\int_0^\infty \frac{dx}{1+x^7}[/inlmath]? Tu se vec ne nalazi tako lako sama vrednost za integral, no to ovde nije ni neophodno (zelimo da konvergira, vrednost nije sustinski bitna), a da konvergira se ipak moze videti gledanjem asimptotskog ponasanja podintegralne funkcije u beskonacnosti (jer je tu jedini singularitet)

Ta ocena za logaritam te verovatno zanima za neki drugi zadatak, al dok se ne vidi kako on glasi slaba vajda. Postoji ocena [inlmath]\ln(1+x)\leq x[/inlmath] za sve [inlmath]x>-1,[/inlmath] tj. [inlmath]\ln x\leq x-1[/inlmath] za [inlmath]x>0,[/inlmath] ako ti zavrsava posao.

Da, to za [inlmath]e[/inlmath] sam i uradila. I [inlmath]\ln[/inlmath] sam tako ocjenila i dobro je ispalo . Hvala ti puno!