Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

Odredjeni integral

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

Odredjeni integral

Postod Srdjan01 » Ponedeljak, 04. Maj 2020, 15:22

Pozdrav, potreban mi je savjet oko ovog zadatka.
Zadatak glasi:
Izračunati broj [inlmath]a[/inlmath], tako da vrijedi [dispmath]\int\limits_0^1\frac{\mathrm dx}{ax^2+1}=\frac{\pi\sqrt3}{9}[/dispmath] E sada ja sam riješio ovaj određeni integral i to je:
[dispmath]\frac{\sqrt{a}\cdot\text{arctg}\left(\sqrt{a}\right)}{a}[/dispmath] i dobije se:
[dispmath]\frac{\sqrt{a}\cdot\text{arctg}\left(\sqrt{a}\right)}{a}=\frac{\pi\sqrt3}{9}[/dispmath] Sada ja sam zakljucio da je ovdje
[dispmath]a=3[/dispmath] što se ispostavi kao tačan rezultat.
Ono što mi nije jasno, je:
Kako mogu da dobijem ovo [inlmath]a[/inlmath] izračunavanjem ? Bez mog zaključivanja.
Unaprijed Hvala!
Korisnikov avatar
 
Postovi: 92
Zahvalio se: 32 puta
Pohvaljen: 61 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Odredjeni integral

Postod Daniel » Utorak, 05. Maj 2020, 08:20

Izračunavanjem ne možeš nikako. U pitanju je transcendentna jednačina, koja se ne može rešiti analitičkim putem.
Ovde se do rešenja može doći jedino „napipavanjem“ (što u ovom slučaju i nije veliki problem, ako uočimo da je potkorena veličina na levoj strani [inlmath]a[/inlmath], a na desnoj strani je [inlmath]3[/inlmath]).
Ono što je bitno, to je da, nakon što smo „napipali“ jedno rešenje, sada još dokažemo da je to i jedino rešenje.
A dokazuje se tako što u jednačini [inlmath]\frac{1}{\sqrt a}\cdot\text{arctg}\left(\sqrt{a}\right)=\frac{\pi\sqrt3}{9}[/inlmath] prebacimo [inlmath]\sqrt a[/inlmath] na desnu stranu (pošto smo već proverili da [inlmath]a[/inlmath] ne može biti nula), pa levu stranu posmatramo kao [inlmath]f\left(\sqrt a\right)[/inlmath], a desnu kao [inlmath]g\left(\sqrt a\right)[/inlmath]. Desno imamo linearnu funkciju, čiji je grafik ravna linija, dok levo imamo funkciju arkus tangensa, za čiji grafik takođe znamo kako izgleda. Sa grafika se vidi da za [inlmath]a>0[/inlmath] ta dva grafika mogu imati najviše jednu presečnu tačku, što znači da postoji najviše jedna vrednost [inlmath]\sqrt a[/inlmath] za koju je ta jednačina zadovoljena. A budući da je kvadratni koren injektivna funkcija, samim tim postoji najviše jedna vrednost i samog [inlmath]a[/inlmath], a to je ona koju smo već „napipali“.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Odredjeni integral

Postod Srdjan01 » Utorak, 05. Maj 2020, 09:09

Mnogo Hvala za ovaj odgovor!
Korisnikov avatar
 
Postovi: 92
Zahvalio se: 32 puta
Pohvaljen: 61 puta


Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 40 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 18:44 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs