Dvostruki integrali – računanje površine

PostPoslato: Četvrtak, 24. Decembar 2020, 17:42
od Sah
Pozdrav. Potrebna mi je mala pomoc oko sledeceg zadatka:

Izracunati povrsinu dela konusa [inlmath]z^2=x^2+y^2[/inlmath], isecenog cilindrom [inlmath]x^2+y^2=2x[/inlmath].

Prvo, prelaskom na polarne koordinate [inlmath]x=r\cos\phi[/inlmath], [inlmath]y=r\sin\phi[/inlmath] dobijam nove granice integraljenja: [inlmath]0\le r\le\cos2\phi[/inlmath] i [inlmath]0\le\phi\le\frac{\pi}{2}[/inlmath]. Nakon toga, koristeci formulu za povrsinu [inlmath]P=\iint\sqrt{1+p^2+q^2}\,\mathrm dx\,\mathrm dy[/inlmath] gde je [inlmath]p=\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}[/inlmath] i [inlmath]q=\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}[/inlmath] dobijam da je trazena povrsina jednaka [inlmath]\frac{\sqrt2\pi}{2}[/inlmath]. Medjutim, u resenju stoji da je povrsina jednaka [inlmath]2\sqrt2\pi[/inlmath] sto mi nije jasno. Kada sam nacrtao sliku u prostoru uocavam dve jednake simetricne povrsine, pa bi valjda trebalo dobijenu povrsinu pomnoziti sa [inlmath]2[/inlmath] a ne sa [inlmath]4[/inlmath]. Ocigledno nesto previdjam, nije mi jasno kako da postupim u ovakvim situacijama jer mi sa slike nije bas ocigledno.

Re: Dvostruki integrali – računanje površine

PostPoslato: Petak, 25. Decembar 2020, 22:37
od Daniel
Pozdrav, greška ti je u granicama integraljenja,
Sah je napisao:[inlmath]0\le r\le\cos2\phi[/inlmath] i [inlmath]0\le\phi\le\frac{\pi}{2}[/inlmath]

Treba [inlmath]0\le r\le2\cos\phi[/inlmath] i [inlmath]-\frac{\pi}{2}\le\phi\le\frac{\pi}{2}[/inlmath].