Nedoumice oko korišćenja smene kod integrala

PostPoslato: Petak, 13. Maj 2022, 18:13
od Acim
Zdravo,
U vezi integrala, često brkam i grešim kada i gde se koristi smena;
Da li ona sme da se koristi kod bilo kog dela brojioca/imenioca, npr ako sa tim načinom ne mogu da integral svedem na tablični, onda smenu stavim kod nekog drugog dela i tako onda proverim da li se na kraju dobija tablični integral?

Uzeću za primer sledeći integral:
[dispmath]\int\:\frac{2x\ln\left(x^2+1\right)}{x^2+1}\,\mathrm dx[/dispmath] U ovom slučaju, za "ispravnu" smenu se postavio deo: [inlmath]\ln\left(1+x^2\right)[/inlmath]. Ali da npr. nisam uočio da ona tu treba da se uvede, da li bi bila greška ako bih stavio da je [inlmath]t=x^2+1[/inlmath] ili [inlmath]x\ln\left(x^2+1\right)[/inlmath].

Re: Nedoumice oko korišćenja smene kod integrala

PostPoslato: Subota, 14. Maj 2022, 14:37
od Daniel
Izbor smene kod integrala često se oslanja na intuiciju. U nekim slučajevima postoje jasna pravila, a u nekim slučajevima potrebno je da isprobavaš. Kod ovog integrala koji si priložio, nećeš ništa pogrešiti ni ako uvedeš smenu [inlmath]x^2+1=t[/inlmath]. U toku daljeg postupka moći ćeš da uvedeš novu smenu [inlmath]\ln t=u[/inlmath] (što mu dođe isto kao da si u startu uveo [inlmath]\ln\left(1+x^2\right)=t[/inlmath]), a može se uraditi i bez uvođenja te druge smene.

Acim je napisao:ili [inlmath]x\ln\left(x^2+1\right)[/inlmath].

Pa, jesi li pokušao s tom smenom, i kako glasi integral koji si na taj način dobio? :)

Re: Nedoumice oko korišćenja smene kod integrala

PostPoslato: Subota, 14. Maj 2022, 20:16
od Acim
Daniel je napisao:Pa, jesi li pokušao s tom smenom, i kako glasi integral koji si na taj način dobio? :)

Nisam, nego sam samo random predložio da vidim da li sme.
Hvala!