Zdravo! Zapeo sam kod ovog integrala:
[dispmath]\int\!e^x\text{ arctg }\frac{e^x}{e^x+1}\,\mathrm dx[/dispmath]
Prvo što sam uradio je da sam uveo smenu [inlmath]e^x=t[/inlmath], odakle nam je [inlmath]\mathrm dx=\frac{\mathrm dt}{\mathrm dx}[/inlmath]
Znači, imamo:
[dispmath]\int\!t\text{ arctg }\frac{t}{t+1}\cdot\frac{\mathrm dt}{t}[/dispmath] Odavde sam iskoristio parcijalnu integraciju, gde nam je [inlmath]u=\text{arctg }\frac{1}{t+1}[/inlmath], [inlmath]\mathrm du=-\frac{1}{t^2+2t+2}[/inlmath], [inlmath]\mathrm dv=t\,\mathrm dt[/inlmath] i samo [inlmath]v=\frac{t^2}{2}[/inlmath], čime dobijamo;
[dispmath]\frac{t^2}{2}\text{ arctg }\frac{1}{t+1}+\int\!\frac{t^2}{2}\cdot\frac{1}{t^2+2t+2}\,\mathrm dt[/dispmath] Odavde sam kod desnog integrala uradio sledeće:
[dispmath]t^2:\left(t^2+2t+2\right)=1+\frac{-2t-2}{t^2+2t+2}[/dispmath] Čime se taj deo svodi na:
[dispmath]\int\mathrm dt-2\int\!\frac{t+2}{t^2+2t+2}\,\mathrm dt[/dispmath] Odavde nisam znao šta dalje da iskoristim, jer nisam uspeo dalje da ga pojednostavim. Pokušao sam prvo da rešim kvadratnu pa da rastavim na činioce, ali nije moglo zbog kompleksnih rešenja, onda sam pokušao smenu ali ni to nije dalo rezultata.