Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

Neodređeni integral – gde može biti greška?

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

Neodređeni integral – gde može biti greška?

Postod Acim » Petak, 27. Maj 2022, 16:12

[dispmath]\int\!\frac{1}{1-e^{-x}}\,\mathrm dx[/dispmath] Ispravno rešenje je [inlmath]\ln\left|e^x-1\right|+C[/inlmath]

Prvo sam pokušao sa smenom: [inlmath]e^{-x}=t[/inlmath], [inlmath]\mathrm dx=-\frac{\mathrm dt}{e^{-x}}[/inlmath], odakle dobijam:
[dispmath]-\int\!\frac{1}{t(1-t)}\,\mathrm dt[/dispmath] Ovde sam primenio integraciju racionalnih funkcija: [inlmath]\frac{A}{t}+\frac{B}{1-t},\:A=1,\:B\:=1[/inlmath] i odatle dobijam 2 integrala:
[inlmath]\int\!\frac{1}{t}\,\mathrm dt+\int\!\frac{1}{1-t}[/inlmath]. Za ovaj drugi integral sam stavio da je [inlmath]1-t=s[/inlmath] i kad se celokupan sredi dobijam:
[dispmath]-\ln\left|e^{-x}\right|+\ln\left|1-e^{-x}\right|+C[/dispmath] Proverio sam postupak više puta i nisam naišao nijednu grešku.

Onda sam čisto onako pokušao sa "trikom":
[dispmath]\int\!\frac{1-e^{-x}+e^{-x}}{1-e^{-x}}\,\mathrm dx[/dispmath] Kada se razdvoje:
[dispmath]\int\mathrm dx+\int\!\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}[/dispmath] Za drugi integral se dobija ispravno [inlmath]\ln\left|1-e^{-x}\right|[/inlmath] ali pre toga imam i [inlmath]\frac{x^2}{2}[/inlmath].
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 370
Zahvalio se: 221 puta
Pohvaljen: 55 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Neodređeni integral – gde može biti greška?

Postod Fare » Petak, 27. Maj 2022, 18:10

A da prvo središ početnu podintegralnu funkciju, pa posle smena...
Fare  OFFLINE
 
Postovi: 110
Zahvalio se: 20 puta
Pohvaljen: 143 puta

Re: Neodređeni integral – gde može biti greška?

Postod Acim » Petak, 27. Maj 2022, 18:24

Tako sam rešio kasnije, ali bi valjda trebalo da se dobije isto i na ova 2 načina :think1:
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 370
Zahvalio se: 221 puta
Pohvaljen: 55 puta

  • +2

Re: Neodređeni integral – gde može biti greška?

Postod Fare » Petak, 27. Maj 2022, 19:08

I dobro si uradio jer je [inlmath]-\ln\left|e^{-x}\right|+\ln\left|1-e^{-x}\right|=\ln\left|e^x-1\right|[/inlmath]. Ovaj deo sa 'trikom', pa verovatno imaš grešku. Odakle [inlmath]\frac{x^2}{2}[/inlmath]?
Fare  OFFLINE
 
Postovi: 110
Zahvalio se: 20 puta
Pohvaljen: 143 puta

Re: Neodređeni integral – gde može biti greška?

Postod Acim » Petak, 27. Maj 2022, 21:39

Moja greška, [inlmath]x[/inlmath] tu treba da bude. (kad se pokrati [inlmath]\int\!\frac{1-e^{-x}}{1-e^{-x}}\,\mathrm dx[/inlmath]).
Acim  OFFLINE
 
Postovi: 370
Zahvalio se: 221 puta
Pohvaljen: 55 puta

  • +1

Re: Neodređeni integral – gde može biti greška?

Postod Daniel » Petak, 27. Maj 2022, 23:07

Acim je napisao:[dispmath]\int\mathrm dx+\int\!\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}[/dispmath] Za drugi integral se dobija ispravno [inlmath]\ln\left|1-e^{-x}\right|[/inlmath] ali pre toga imam i [inlmath]\frac{x^2}{2}[/inlmath].

Drugi integral nije jednak rešenju koje se dobije, jer u rešenju nemaš minus u eksponentu.
Onda, nakon što [inlmath]\frac{x^2}{2}[/inlmath] ispraviš u [inlmath]x[/inlmath], dobija se rešenje:
[dispmath]x+\ln\left|1-e^{-x}\right|+c[/dispmath] I to je takođe tačno rešenje, samo zapisano u drugačijem obliku. Da bi od tog oblika dobio onaj koji je u rešenju i napisan, [inlmath]x[/inlmath] napišeš kao [inlmath]\ln e^x[/inlmath], pa primeniš zbir logaritama...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 11 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 08:54 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs