MATEMANIJA

Izračunati:
[dispmath]\int_0^\infty\!\frac{1}{(x+1)\sqrt[3]x}\,\mathrm dx[/dispmath] i
[dispmath]\int_\frac{-1}{2}^\infty\!\frac{1}{(x+1)\sqrt{x^2+x+1}}\,\mathrm dx.[/dispmath] Prvi put se susrećem sa ovakvim zadatkom iz integralnog računa. Jedino što znam je da se ovakvi integrali zovu nesvojstveni Rimanovi integrali.
Svaka pomoć je dobrodošla.

Moj profesor je rekao da za oba zadatka umesto znaka beskonačnosti napišemo [inlmath]A[/inlmath] kao novu granicu integrala.
Dalje nisam dobio uputstva za rešavanje ova dva integrala. Ako neko može da pomogne bilo bi dobro...

Da li bi umeo da rešiš neodređeni integral
[dispmath]\int\!\frac{1}{(x+1)\sqrt[3]x}\,\mathrm dx[/dispmath]

Evo ti mali hint: uvedi smenu [inlmath]t=\sqrt[3]{x}[/inlmath]. Posle toga ćeš dobiti jednu racionalnu funkciju (to su funkcije oblika [inlmath]P(x)/Q(x)[/inlmath], gde su [inlmath]P[/inlmath] i [inlmath]Q[/inlmath] polinomi). Integrale racionalnih funkcija bi trebalo da naučiš da rešavaš, pošto je to šablonski zadatak.

Što se tiče beskonačnosti, to ću objasniti kad rešiš neodređeni integral

Rešenje neodređenog integrala
[dispmath]\int\!\frac{1}{(x+1)\sqrt[3]x}\,\mathrm dx[/dispmath] nakon upotrebe metode neodređenih konstanti i tri upotrebe metode smene promenljive je
[dispmath]-\ln\left|\sqrt[3]x+1\right|+\ln\left|2\sqrt[3]{x^2}-2\sqrt[3]x+\frac{7}{2}\right|+\frac{4\sqrt2}{3\sqrt3}\cdot\arctan\left(\frac{\sqrt3}{\sqrt2}\sqrt[3]x-\frac{\sqrt3}{2\sqrt2}\right)+C.[/dispmath] Nadam se da je ovo tačno rešenje. Da li misliš da je postupak rešavanja drugog integrala sličan postupku rešavanja prvog?

Lepota rešavanja neodređenih integrala, što uvek možeš da proveriš rešenje: dovoljno je samo da diferenciraš neodređeni integral, i ako si ga tačno rešio, dobićeš podintegralnu funkciju. Mene mrzi da proveravam tvoje rešenje, ali mi ne deluje da se slaže sa rešenjem koje dobijam pomoću ovog alata.

Tebi se u zadatku traži vrednost jednog određenog integrala. Po Njutn-Lajbnicovoj teoremi, veza između određenog i neodređenog integrala je
[dispmath]\int_a^b f(x)\, dx = F(b)-F(a)[/dispmath]
gde je [inlmath]F[/inlmath] zapravo rešenje neodređenog integrala [inlmath]\int f(x) dx[/inlmath]. E sad, tebi je zadat nesvojstveni integral (integrali koji sadrže beskonačnosti u jednoj od granica su nesvojstveni) [inlmath]\int_0^\infty f(x) dx[/inlmath], a on je po definiciji limes:
[dispmath]\int_0^\infty f(x)\, dx = \lim_{A\to\infty} \int_0^A f(x)\, dx,[/dispmath]
odnosno kad iskoristimo Njutn-Lajbnicovu teoremu
[dispmath]\int_0^\infty f(x)\, dx = \lim_{A\to\infty} F(A) - F(0).[/dispmath]

Za drugi zadatak prouči metod Ojlerovih smena (naći ćeš lako još materijala na internetu).

Hvala puno na pomoći!