MATEMANIJA

Kako se dolazi do formule za parcijalnu integraciju?
[dispmath]\int u\cdot\mathrm dv=u\cdot v-\int v\cdot\mathrm du[/dispmath]

Polazimo od izraza [inlmath]u\cdot\mathrm dv[/inlmath]:
[dispmath]u\cdot\mathrm dv=u\cdot\mathrm dv+\left(v\cdot\mathrm du-v\cdot\mathrm du\right)=\underbrace{v\cdot\mathrm du+u\cdot\mathrm dv}_{\mathrm d\left(u\cdot v\right)}-v\cdot\mathrm du[/dispmath]
Prema tome,
[dispmath]u\cdot\mathrm dv=\mathrm d\left(u\cdot v\right)-v\cdot\mathrm du[/dispmath]
Sada integralimo obe strane,
[dispmath]\int u\cdot\mathrm dv=\int\left[\mathrm d\left(u\cdot v\right)-v\cdot\mathrm du\right][/dispmath][dispmath]\int u\cdot\mathrm dv=\int\mathrm d\left(u\cdot v\right)-\int v\cdot\mathrm du[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{\int u\cdot\mathrm dv=u\cdot v-\int v\cdot\mathrm du}[/dispmath]

A može i na ovaj način, tako što krenemo od diferencijala proizvoda funkcija, [inlmath]\mathrm d\left(u\cdot v\right)[/inlmath]:
[dispmath]\mathrm d\left(u\cdot v\right)=v\cdot\mathrm du+u\cdot\mathrm dv\\
u\cdot\mathrm dv=\mathrm d\left(u\cdot v\right)-v\cdot\mathrm du[/dispmath]
Dalje je postupak isti kao i kod prethodnog načina – integrale se obe strane itd...