Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA DIFERENCIJALNE JEDNAČINE

Opšte rešenje i singularna rešenja jednačine u zavisnosti od parametra

[inlmath]\left(1+x\right)y\mathrm dx+\left(1-y\right)x\mathrm dy=0[/inlmath]

Opšte rešenje i singularna rešenja jednačine u zavisnosti od parametra

Postod venest » Utorak, 18. Jul 2023, 00:07

Nije mi poznato tačno rešenje zadatka, pored teksta zadatka naveo sam i moje rešenje koje bih hteo da proverim.

Data je jednačina:
[dispmath]xy'-y-2\sqrt{axy+x^2}=0\qquad(a\in\mathbb{R})[/dispmath] a) Naći opšte rešenje jednačine (u zavisnosti od [inlmath]a\in\mathbb{R}[/inlmath])
b) Naći singularna rešenja jednačine (u zavisnosti od [inlmath]a\in\mathbb{R}[/inlmath])


Prvo posmatramo slučaj [inlmath]\enclose{box}{a\ne0}[/inlmath].
[dispmath]xy'-y-2x\sqrt{a\frac{y}{x}+1}=0[/dispmath] Podelimo levu i desnu stranu jednakosti sa [inlmath]x[/inlmath] i jednačina se svodi na homogenu
[dispmath]y'-\frac{y}{x}-2\sqrt{a\frac{y}{x}+1}=0[/dispmath] Smena [inlmath]z=\frac{y}{x}\quad(y'=z'x+z)[/inlmath]
[dispmath]z'x+z-z-2\sqrt{az+1}=0\\
\frac{\mathrm dz}{2\sqrt{az+1}}=\frac{\mathrm dx}{x}[/dispmath] Odakle dobijamo opšte rešenje
[dispmath]\frac{1}{a}\sqrt{az+1}=\ln{x}+C\\
\enclose{box}{\frac{1}{a}\sqrt{a\frac{y}{x}+1}=\ln{x}+C}[/dispmath] Jednačine smo delili sa [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]\sqrt{az+1}[/inlmath] i podrazumevali smo da su ovi izrazi različiti od nule.
Ukoliko [inlmath]x=0[/inlmath] ubacimo u početnu jednačinu, dobijamo da je [inlmath]y=0[/inlmath]. Prvo singularno rešenje polazne jednačine je: [inlmath]\enclose{box}{x=0\enspace y=0}[/inlmath].
Iz [inlmath]\sqrt{az+1}=0[/inlmath] dobijamo [inlmath]y=-\frac{x}{a}[/inlmath] i zamenom u početnu jednačinu zaključujemo da je sa [inlmath]\enclose{box}{y=-\frac{x}{a}}[/inlmath] definisano drugo singularno rešenje polazne jednačine.


Za [inlmath]\enclose{box}{a=0}[/inlmath] polazna jednačina se svodi na
[dispmath]xy'-y-2x=0[/dispmath] Podelimo jednačinu sa [inlmath]x[/inlmath] i dobijamo
[dispmath]y'=\frac{y}{x}+2[/dispmath] Smena [inlmath]z=\frac{y}{x}\enspace(y'=z'x+z)[/inlmath]
[dispmath]z'x+z=z+2\\
\mathrm dz=2\frac{\mathrm dx}{x}[/dispmath] Odakle dobijamo opšte rešenje polazne jednačine
[dispmath]z=2\ln{x}+C\\
\enclose{box}{\frac{y}{x}=2\ln{x}+C}[/dispmath] Zamenom [inlmath]x=0[/inlmath] u početnu jednačinu dobijamo [inlmath]y=0[/inlmath], pa je singularno rešenje: [inlmath]\enclose{box}{x=0\enspace y=0}[/inlmath].
venest  OFFLINE
 
Postovi: 7
Zahvalio se: 4 puta
Pohvaljen: 2 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Povratak na DIFERENCIJALNE JEDNAČINE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 21. Jul 2024, 06:16 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs