Nadam se da ne smeta ako ja budem taj koji će nastaviti ovu zanimljivu temu.
Šta tačno znači „netrivijalno rešenje“? Da li je to rešenje u kojem, pored [inlmath]y'[/inlmath], obavezno figurišu i [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]? Pod tom pretpostavkom, ponudio bih i ja svoja (netrivijalna) rešenja:
maxaa je napisao:a) d.j. prvog reda, resenje [inlmath]y=\frac{x}{2}[/inlmath]:
[dispmath]y=\frac{1}{2}x\quad\land\quad y'=\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad y=y'x[/dispmath]
maxaa je napisao:b) d.j. prvog reda, opste resenje [inlmath]y=Cx[/inlmath]:
Ovaj slučaj je uopštenje slučaja pod a), jer je pod a) [inlmath]C=\frac{1}{2}[/inlmath]. Moje rešenje je isto kao i @desiderijevo, a evo i kako se dolazi do njega (vrlo slično kao i u prethodnom primeru):
[dispmath]y=Cx\quad\land\quad y'=C\quad\Rightarrow\quad y=y'x[/dispmath]
maxaa je napisao:c) Bernulijeva d.j., partikularno resenje [inlmath]y=3[/inlmath]:
Opšti oblik Bernulijeve d.j. glasi
[dispmath]y'+P\left(x\right)y=Q\left(x\right)y^n[/dispmath]
Pošto partikularno rešenje treba da bude [inlmath]y=3[/inlmath], tj. [inlmath]y[/inlmath] je konstanta, njen izvod će biti nula, [inlmath]y'=0[/inlmath], odakle sledi
[dispmath]3P\left(x\right)=3^nQ\left(x\right)\quad\Rightarrow\quad P\left(x\right)=3^{n-1}Q\left(x\right)[/dispmath]
što znači da polinomi [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] i [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath] treba da budu istog stepena, a koeficijenti polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] su [inlmath]3^{n-1}[/inlmath] puta veći od odgovarajućih koeficijenata polinoma [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath]. Prema tome, tražena Bernulijeva d.j. glasiće
[dispmath]y'+3^{n-1}Q\left(x\right)y=Q\left(x\right)y^n[/dispmath]
gde je [inlmath]n[/inlmath] realan broj, [inlmath]n\notin\left\{0,1\right\}[/inlmath], a [inlmath]Q\left(x\right)[/inlmath] može biti bilo koji polinom.
Za [inlmath]n=2[/inlmath] i [inlmath]Q\left(x\right)=\frac{x}{3}[/inlmath] dobije se @desiderijevo rešenje. Moguća rešenja su i:
[dispmath]n=3,\;Q\left(x\right)=x^2+5x-2:\qquad y'+9\left(x^2+5x-2\right)y=\left(x^2+5x-2\right)y^3[/dispmath][dispmath]n=5,\;Q\left(x\right)=x-4:\qquad y'+81\left(x-4\right)y=\left(x-4\right)y^5[/dispmath]
[dispmath]n=\frac{2}{3},\;Q\left(x\right)=2x^3+4x^2-5x+3:\qquad y'+3^{-1/3}\left(2x^3+4x^2-5x+3\right)y=\left(2x^3+4x^2-5x+3\right)y^{2/3}[/dispmath]
itd.
Ostaje još taj četvrti primer.