Tekst zadatka glasi: Pronaći opšte rešenje diferencijalne jednačine:
[dispmath]y''+3y'-4y=xe^{-x}[/dispmath] Nisam siguran da li dobro radim zadatak, rešenje mi se ne čini dobrim.
Za računanje homogenog rešenja dobijem sledeće:
[dispmath]\lambda^2+3\lambda-4=0\\
\lambda_{1/2}=\frac{-3\pm\sqrt{9+16}}{2}[/dispmath] Kad se sredi dobijem:
[dispmath]\lambda_1=-4\enspace\lambda_2=1[/dispmath] Iz toga:
[dispmath]y_H=c_1e^{-4x}+c_2e^x[/dispmath] Za partikularno rešenje krenem ovako:
[dispmath]y_p=(Ax+B)e^{-x}\\
y'=\left((Ax+B)e^{-x}\right)'\\
y'=Ae^{-x}-(Ax+B)e^{-x}\\
y'=e^{-x}(A-B-Ax)\\
y''=\left(e^{-x}(A-B-Ax)\right)'\\
y''=-e^{-x}(A-B-Ax)-Ae^{-x}\\
y''=e^{-x}(-A+B+Ax)-Ae^{-x}\\
y''=e^{-x}(-A+B+Ax-A)[/dispmath] Kada vratim u početnu jednačinu dobijem:
[dispmath]e^{-x}(-2A+B+Ax)+3e^{-x}(A-B-Ax)-4e^{-x}(Ax+B)=xe^{-x}[/dispmath] Ovde skratim [inlmath]e^{-x}[/inlmath] pošto se nalazi pored svih članova jednačine
[dispmath]-2A+B+Ax+3A-3B-3Ax-4Ax-4B=x\\
A-6B-6Ax=x[/dispmath] Iz ovoga dobijem da je:
[dispmath]-6A=1\quad A=-\frac{1}{6}[/dispmath] pa je
[dispmath]A-6B=0\quad-6B=\frac{1}{6}\quad B=-\frac{1}{36}[/dispmath] Pa mi je konačno rešenje:
[dispmath]y=y_h+y_p\\
y=c_1e^{-x}+c_2e^x+\left(-\frac{x}{6}-\frac{1}{36}\right)e^{-x}[/dispmath]