Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA DIFERENCIJALNE JEDNAČINE

Nehomogena diferencijalna jednačina višeg reda

[inlmath]\left(1+x\right)y\mathrm dx+\left(1-y\right)x\mathrm dy=0[/inlmath]

Nehomogena diferencijalna jednačina višeg reda

Postod Nemanja Markovic » Ponedeljak, 28. Septembar 2020, 12:43

Dobar dan, opet ja sa diferencijalnim jednačinama :D
Kod ovog zadatka me zanima kako da počnem računanje za partikularno rešenje, homogeno mi nije problem
[dispmath]y''-y'-2y=e^{2x}\cos^2x[/dispmath] Za homogeno dobijem:
[dispmath]y_H=c_1e^{-2x}+c_2e^x[/dispmath] Kod partikularnog sam probao da uzmem da je
[dispmath]y=\left(A\sin^2x+B\cos^2x\right)e^{2x}\\
y'=(2A\sin x\cos x+2B\sin x\cos x)e^{2x}+\left(A\sin^2x+B\cos^2x\right)2e^{2x}\\
y''=2e^{2x}\left(2A\sin x\cos x-2B\sin x\cos x+A\sin^2x+B\cos^2x\right)[/dispmath] (ovo sam dobio kad sam sredio izvod)

I ne znam dalje, uvrštanjem dobijenog nazad u jednačinu iskomplikujem previše zadatak i ne znam kako da dobijem [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath].
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 4 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Nehomogena diferencijalna jednačina višeg reda

Postod Srdjan01 » Ponedeljak, 28. Septembar 2020, 18:41

Homogeno rješenje bi trebalo da bude [inlmath]y_H=c_1e^{2x}+c_2e^{-x}[/inlmath].
Uzmi da je [inlmath]\cos^2x=\frac{1}{2}(1+\cos2x)[/inlmath], tako da bi partikularno rješenje trebalo da bude oblika:
[dispmath]y_p(x)=Axe^{2x}+Be^{2x}\cos2x+Ce^{2x}\sin2x.\\
y'_p=2C\mathrm{e}^{2x}\sin2x-2B\mathrm{e}^{2x}\sin2x+2C\mathrm{e}^{2x}\cos2x+2B\mathrm{e}^{2x}\cos2x+2Ax\mathrm{e}^{2x}+A\mathrm{e}^{2x}\\
y''_p=\mathrm{e}^{2x}\left(-2\left(2C+2B\right)\sin2x+2\left(2C-2B\right)\cos2x+2A\right)+2\mathrm{e}^{2x}\left(\left(2C-2B\right)\sin2x+\left(2C+2B\right)\cos2x+2Ax+A\right)[/dispmath] Trebalo bi da su rješenja:
[dispmath]A=\frac{1}{6},\quad B=-\frac{1}{26},\quad C=\frac{3}{52}.[/dispmath]
Korisnikov avatar
 
Postovi: 92
Zahvalio se: 32 puta
Pohvaljen: 61 puta

Re: Nehomogena diferencijalna jednačina višeg reda

Postod Nemanja Markovic » Sreda, 30. Septembar 2020, 12:18

Hvala na odgovoru, imam samo jedno pitanje
Srdjan01 je napisao:[dispmath]y_p(x)=Axe^{2x}+Be^{2x}\cos2x+Ce^{2x}\sin2x.[/dispmath]

Zašto je oblik partikularnog rešenja takav? Jer koliko znam po ovome gledamo koliko iznosi [inlmath]n[/inlmath] da bi dobili oblik koji nam treba, kako tražimo [inlmath]n[/inlmath] ako imamo sinus ili kosinus u zadatku?
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 4 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Nehomogena diferencijalna jednačina višeg reda

Postod primus » Sreda, 30. Septembar 2020, 13:53

Prvo odredi rešenja karakteristične jednačine a zatim odredi partikularna rešenja [inlmath]y_{p_1}[/inlmath] i [inlmath]y_{p_2}[/inlmath] diferencijalnih jednačina: [inlmath]y''-y'-2y=\frac{1}{2}e^{2x}[/inlmath] i [inlmath]y''-y'-2y=\frac{1}{2}e^{2x}\cos2x[/inlmath]. Na osnovu principa superpozicije partikularno rešenje polazne diferencijalne jednačine [inlmath]y_p[/inlmath] jednako je zbiru [inlmath]y_{p_1}+y_{p_2}[/inlmath].
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 232
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 278 puta


Povratak na DIFERENCIJALNE JEDNAČINE

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 23 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 14:47 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs